Chapitre 4 • Espaces préhilbertiens réels
152
Conseils
Puisque p est un projecteur et que
y ∈ Im ( p), on a : p(y) = y.
Penser à introduire un paramètre réel,
comme dans la preuve classique de
l'inégalité de Cauchy et Schwarz.
On a : p(y) = y et p(x) = 0.
Si un trinôme réel est 0 pour tous les
réels, alors son discriminant est 0.
On applique un sens de a) à p puis à q, qui
sont des orthoprojecteurs.
Le vecteur fixé q ◦ p(y) − p ◦ q(y) est
orthogonal à tout vecteur x de E, donc est
nul.
Solution
2) Réciproquement, supposons : ∀ x ∈ E, || p(x)|| ||x||.
Soit (x,y) ∈ Ker ( p) × Im ( p).
On a donc p(x) = 0 et p(y) = y.
On a alors, d'après l'hypothèse :
∀ λ ∈ R, || p(y + λx)||
2
||y + λx||
2 ,
c'est-à-dire :
∀ λ ∈ R, ||y||
2
||y||
2 + 2λ(x | y) + λ
2 ||x||
2 ,
ou encore :
∀ λ ∈ R, ||x||
2 λ
2 + 2(x | y)λ 0.
Il s'ensuit : 4(x | y)
2
0, donc (x | y) = 0.
Ceci montre que Ker ( p) et Im ( p) sont orthogonaux, donc p est un orthoprojecteur.
b) • On a, d'après a) :
∀ x ∈ E, ||( p ◦ q)(x)|| =
p
q(x)
||q(x)|| ||x||.
Comme p ◦ q est un projecteur, d'après a), il en résulte que p ◦ q est un orthoprojecteur.
• Puisque p, q, p ◦ q sont des orthoprojecteurs, ils sont symétriques, d'où, pour tout
(x,y) ∈ E
2 :
x
(q ◦ p)(y)
=
q(x) | p(y)
=
p
q(x)
y
=
p ◦ q(x)
y
=
x
p ◦ q(y)
,
d'où : ∀ y ∈ E, q ◦ p(y) = p ◦ q(y), et donc : q ◦ p = p ◦ q.
Remarque : En utilisant la notion d'adjoint, vue plus loin (§ 4.4 p. 158), on peut
donner une solution plus courte pour cette dernière question :
q ◦ p = q
∗ ◦ p
∗ = ( p ◦ q)
∗ = p ◦ q.
Les méthodes à retenir
Endomorphismes symétriques
• Pour établir certaines inégalités, penser à l’intervention de l’inégalité de Cauchy-Schwarz (ex. 4.3.3 b)).
• Pour calculer le projeté orthogonal d’un élément x d’un espace vectoriel euclidien (E,< .,. >) sur un sev F
de E, si l’on connaît une b.o.n. (e 1 ,. . . ,e p ) de F (ex. 4.3.5), il suffit d’appliquer la formule de la Prop. 4 :
p F (x) =
p
i=1
< e i ,x > e i .