4.3 • Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien
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© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Conseils
u
= (x
2
− x)P
(x) + (2x − 1)P
(x)
v = Q(x),
u = (x
2
− x)P
(x)
v
= Q
(x).
Le produit scalaire est symétrique.
Solution
2) La linéarité de T est immédiate, car, pour tout α ∈ R et tous P,Q ∈ E :
T (α P + Q) = (X
2 − X)(α P + Q)
+ (2X − 1)(α P + Q)
= α(X
2 − X)P
+ (X
2 − X)Q
+ α(2X − 1)P
+ (2X − 1)Q
= α
(X
2 − X)P
+ (2X − 1)P
+
(X
2 − X)Q
+ (2X − 1)Q
= αT (P) + T (Q).
3) Soit (P,Q) ∈ E
2
.
On a :
T (P)
Q
=
1
0
T (P)(x)Q(x) dx
=
1
0
(x
2 − x)P
(x) + (2x − 1)P
(x)
Q(x) dx.
On intègre par parties :
T (P)
Q) =
(x
2 − x)P
(x)Q(x)
1
0
−
1
0
(x
2 − x)P
(x)Q
(x) dx
= −
1
0
(x
2 − x)P
(x)Q
(x) dx.
Dans cette dernière expression, P et Q ont des rôles symétriques, donc, en appliquant
le résultat ci-dessus au couple (Q,P) à la place du couple (P,Q), on obtient :
T (P)
Q) =
1
0
(x
2 − x)P
(x)Q
(x) dx =
T (Q)
P
=
P
T (Q)
.
Finalement : T est un endomorphisme symétrique de E.
Exercice-type résolu 2
Orthoprojecteurs
Soient
E,(. | .)
un eve, ||.|| la norme euclidienne associée.
a) Soit p un projecteur de E. Montrer que p est un orthoprojecteur si et seulement si :
∀ x ∈ E, || p(x)|| ||x||.
b) Soient p,q deux orthoprojecteurs de E.On suppose que p ◦ q est un projecteur de E. Montrer que p ◦ q est un orthoprojecteur et que : p ◦ q = q ◦ p.
Conseils
Puisque p est un orthoprojecteur, Ker ( p)
et Im ( p) sont orthogonaux entre eux.
Solution
a) 1) Supposons que p est un orthoprojecteur de E.
Soit x ∈ E. On a : x − p(x) ∈ Ker ( p) et p(x) ∈ Im ( p), donc x − p(x) ⊥ p(x),
d'où, d'après le théorème de Pythagore :
||x||
2 =
x − p(x)
+ p(x)
2 = ||x − p(x)||
2 + ||p(x)||
2 ,
et on conclut : || p(x)|| ||x||.