Chapitre 4 • Espaces préhilbertiens réels
150
Preuve
Notons p =
1
2
(e + s).
Comme Ker( p) = Ker(s + e) et Im( p) = Ker(s − e) (car x = p(x) ⇐⇒ s(x) = x ),
on a schématiquement, en utilisant la Prop. 5 p. 149 :
(s symétrie orthogonale) ⇐⇒ ( p projecteur orthogonal)
⇐⇒ ( p symétrique) ⇐⇒ (s symétrique).
᭿
Remarque :
On notera l'incohérence du vocabulaire établi : endomorphisme symétrique et symétrie sont
loin d'être synonymes.
Proposition 8
Soit s une symétrie orthogonale de E. Il existe une b.o.n. B de E telle que :
Mat B (s) =
I p
0
0 −I q
, où p = dim
Ker(s − e)
, q = dim
Ker(s + e)
.
Définition 5
On appelle réflexion (de E) toute symétrie orthogonale par rapport à un hyperplan
de E.
Ne pas confondre l’entier p et un
éventuel projecteur p.
Exercice-type résolu 1
Un exemple d’endomorphisme symétrique sur un espace de polynômes
Soit n ∈ N
∗ fixé. On note E le R -ev R n [X] muni du produit scalaire (. | .) défini par :
∀ P,Q ∈ E, (P | Q) =
1
0
P(x)Q(x) dx.
Pour tout P ∈ E, on note T (P) = (X
2
− X)P
+ (2X − 1)P
. Montrer que T est un endomorphisme symétrique de
E,(. | .)
.
Conseils
Ne pas oublier de montrer que T va de E
dans E.
Solution
1) Soit P ∈ E. Il est clair que T (P) ∈ R[X], et on a :
deg
(X
2 − X)P
= 2 + deg (P
) 2 + (n − 2) = n
et
deg
(2X − 1)P
= 1 + deg (P
) 1 + (n − 1) = n,
d'où, par addition :
deg
T (P)
Max
deg
(X
2 − X)P
, deg
(2X − 1)P
n.
Ceci montre :
∀ P ∈ E, T (P) ∈ E.