4.3 • Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien
149
Proposition 4
Soient F un sev de E, (e 1 ,. . . ,e p ) une b.o.n. de F. On a alors :
∀ x ∈ E, p F (x) =
p
i=1
< e i ,x > e i .
Proposition 5
Soit p ∈ L(E) un projecteur ( p ◦ p = p). Alors p est un orthoprojecteur si et seulement si p est symétrique.
Preuve
1) Soient p un orthoprojecteur et (x,y) ∈ E 2 . On a :
< p(x),y > = < p(x),y − p(y) > + < p(x), p(y) > = < p(x), p(y) >
car p(x) ∈ Im( p) et y − p(y) ∈ Ker( p) = (Im( p))
⊥ .
De même : < x, p(y) > = < p(y),x > = < p(y), p(x) > = < p(x), p(y) > .
On a donc : ∀ (x,y) ∈ E
2
, < p(x),y > = < (x, p(y) >
= < p(x), p(y) >
,
et finalement, p est symétrique.
2) Réciproquement, soit p un projecteur symétrique de E . On a :
∀ (x,y) ∈ Ker( p) × Im( p), < x,y > = < x, p(y) > = < p(x),y >= 0,
donc p est un orthoprojecteur.
Proposition 6
Soit p un projecteur orthogonal de E. Il existe une b.o.n. B de E telle que
Mat B ( p) =
I r 0
0 0
, où r = rg( p).
Preuve
Il existe une b.o.n. B 1 de Im( p) et une b.o.n. B 2 de Ker( p). Comme Im( p) et Ker( p) sont supplémentaires orthogonaux dans E , B = B 1 ∪ B 2 est une b.o.n. de E convenant.
Définition 4
Pour tout sev F de E, on appelle symétrie orthogonale par rapport à F l'endomorphisme s F de E défini par s F = 2 p F − e, où p F est le projecteur orthogonal
sur F, et e = Id E .
Il est clair que :
s F ◦ s F = e
Ker(s F − e) = F, Ker(s F + e) = F ⊥
p F =
1
2
(e + s F ).
Proposition 7
Soit s ∈ L(E) une symétrie (s ◦ s = e). Alors s est une symétrie orthogonale si et
seulement si s est symétrique.
Expression du projeté orthogonal de x
sur F à l’aide d’une b.o.n. de F.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Caractérisation des orthoprojecteurs
parmi les projecteurs.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
On remplace y par :
(y − p(y)) + p(y) .
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Puisque p est un projecteur,on a,pour
tout y ∈ Im( p) :
p(y) = y.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Exercice 4.3.5.
• Ker(s F − e) est l’ensemble des
invariants de s F
• Ker(s F + e) est l’ensemble des antiinvariants de s F .
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Caractérisation des symétries
orthogonales parmi les symétries.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
149
Proposition 4
Soient F un sev de E, (e 1 ,. . . ,e p ) une b.o.n. de F. On a alors :
∀ x ∈ E, p F (x) =
p
i=1
< e i ,x > e i .
Proposition 5
Soit p ∈ L(E) un projecteur ( p ◦ p = p). Alors p est un orthoprojecteur si et seulement si p est symétrique.
Preuve
1) Soient p un orthoprojecteur et (x,y) ∈ E 2 . On a :
< p(x),y > = < p(x),y − p(y) > + < p(x), p(y) > = < p(x), p(y) >
car p(x) ∈ Im( p) et y − p(y) ∈ Ker( p) = (Im( p))
⊥ .
De même : < x, p(y) > = < p(y),x > = < p(y), p(x) > = < p(x), p(y) > .
On a donc : ∀ (x,y) ∈ E
2
, < p(x),y > = < (x, p(y) >
= < p(x), p(y) >
,
et finalement, p est symétrique.
2) Réciproquement, soit p un projecteur symétrique de E . On a :
∀ (x,y) ∈ Ker( p) × Im( p), < x,y > = < x, p(y) > = < p(x),y >= 0,
donc p est un orthoprojecteur.
Proposition 6
Soit p un projecteur orthogonal de E. Il existe une b.o.n. B de E telle que
Mat B ( p) =
I r 0
0 0
, où r = rg( p).
Preuve
Il existe une b.o.n. B 1 de Im( p) et une b.o.n. B 2 de Ker( p). Comme Im( p) et Ker( p) sont supplémentaires orthogonaux dans E , B = B 1 ∪ B 2 est une b.o.n. de E convenant.
Définition 4
Pour tout sev F de E, on appelle symétrie orthogonale par rapport à F l'endomorphisme s F de E défini par s F = 2 p F − e, où p F est le projecteur orthogonal
sur F, et e = Id E .
Il est clair que :
s F ◦ s F = e
Ker(s F − e) = F, Ker(s F + e) = F ⊥
p F =
1
2
(e + s F ).
Proposition 7
Soit s ∈ L(E) une symétrie (s ◦ s = e). Alors s est une symétrie orthogonale si et
seulement si s est symétrique.
Expression du projeté orthogonal de x
sur F à l’aide d’une b.o.n. de F.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Caractérisation des orthoprojecteurs
parmi les projecteurs.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
On remplace y par :
(y − p(y)) + p(y) .
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Puisque p est un projecteur,on a,pour
tout y ∈ Im( p) :
p(y) = y.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Exercice 4.3.5.
• Ker(s F − e) est l’ensemble des
invariants de s F
• Ker(s F + e) est l’ensemble des antiinvariants de s F .
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Caractérisation des symétries
orthogonales parmi les symétries.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier