Chapitre 4 • Espaces préhilbertiens réels
148
Preuve :
1 ère méthode
1) Soit ( f,g) ∈ (S(E))
2 . On a :
g ◦ f ∈ S(E) ⇐⇒
∀ (x,y) ∈ E 2 , < (g ◦ f )(x),y > = < x,(g ◦ f )(y) >
⇐⇒
∀ (x,y) ∈ E 2 , < f (x),g(y) > = < x,(g ◦ f )(y) >
⇐⇒
∀ (x,y) ∈ E 2 , < x,( f ◦ g)(y) > = < x,(g ◦ f )(y) >
⇐⇒
∀ y ∈ E, f ◦ g(y) = g ◦ f (y)
⇐⇒ f ◦ g = g ◦ f.
2) Résulte de 1) pour k ∈ N ∗ , par récurrence ; et f 0 = Id E ∈ S(E).
3) Soit f ∈ S(E) ∩ GL(E).
• On a, pour tout (x,y) de E 2 :
< f
−1 (x),y > = < f
−1 (x), f ( f
−1 (y)) > = < f
f
−1 (x)
, f
−1 (y) >
= < x, f
−1 (y) > ,
donc f −1 ∈ S(E).
• Appliquer 2) à f −1 et −k pour obtenir : ∀ k ∈ Z, f k = ( f −1 ) −k ∈ S(E).
2 ème méthode
La Prop. est conséquence de la Prop. analogue sur les matrices symétriques réelles
(cf. Algèbre PCSI-PTSI, 8.4.1 1) Prop. 2 et 3 ).
2) Orthoprojecteurs, symétries orthogonales
Nous rappelons et complétons l'étude vue dans Algèbre PCSI-PTSI, § 10.2.2.
Définition 2
Pour tout sev F de E, on appelle orthoprojecteur (ou : projecteur orthogonal)
sur F, et on note p F le projecteur sur F parallèlement à F ⊥ . Pour x ∈ E, p F (x) s’appelle le projeté orthogonal de x sur F.
On a donc : p F ◦ p F = p F , Im( p F ) = F, Ker( p F ) = F ⊥
∀ x ∈ E,
p F (x) ∈ F, x − p F (x) ∈ F ⊥ .
Définition 3
Soient F un sev de E, x ∈ E. On appelle distance de x à F, et on note d(x,F), le
réel défini par :
d(x,F) = Inf
y ∈ F
||x − y||.
Proposition 3
Soient F un sev de E, x ∈ E. On a
∀ y ∈ F, ||x − y|| ||x − p F (x)||
∀ y ∈ F,
||x − y|| = ||x − p F (x)|| ⇐⇒ y = p F (x)
.
Le vecteur
( f ◦ g)(y) − (g ◦ f )(y)
est orthogonal à tout vecteur de E si
et seulement s’il est nul.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Si k ∈ Z − , alors −k ∈ N.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Exercices 4.3.1 à 4.3.4.
Autrement dit, l'application
F −→ R
y −→ ||x − y||
admet une borne
inférieure et celle-ci est atteinte en
p F (x) seulement.
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Gé
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148
Preuve :
1 ère méthode
1) Soit ( f,g) ∈ (S(E))
2 . On a :
g ◦ f ∈ S(E) ⇐⇒
∀ (x,y) ∈ E 2 , < (g ◦ f )(x),y > = < x,(g ◦ f )(y) >
⇐⇒
∀ (x,y) ∈ E 2 , < f (x),g(y) > = < x,(g ◦ f )(y) >
⇐⇒
∀ (x,y) ∈ E 2 , < x,( f ◦ g)(y) > = < x,(g ◦ f )(y) >
⇐⇒
∀ y ∈ E, f ◦ g(y) = g ◦ f (y)
⇐⇒ f ◦ g = g ◦ f.
2) Résulte de 1) pour k ∈ N ∗ , par récurrence ; et f 0 = Id E ∈ S(E).
3) Soit f ∈ S(E) ∩ GL(E).
• On a, pour tout (x,y) de E 2 :
< f
−1 (x),y > = < f
−1 (x), f ( f
−1 (y)) > = < f
f
−1 (x)
, f
−1 (y) >
= < x, f
−1 (y) > ,
donc f −1 ∈ S(E).
• Appliquer 2) à f −1 et −k pour obtenir : ∀ k ∈ Z, f k = ( f −1 ) −k ∈ S(E).
2 ème méthode
La Prop. est conséquence de la Prop. analogue sur les matrices symétriques réelles
(cf. Algèbre PCSI-PTSI, 8.4.1 1) Prop. 2 et 3 ).
2) Orthoprojecteurs, symétries orthogonales
Nous rappelons et complétons l'étude vue dans Algèbre PCSI-PTSI, § 10.2.2.
Définition 2
Pour tout sev F de E, on appelle orthoprojecteur (ou : projecteur orthogonal)
sur F, et on note p F le projecteur sur F parallèlement à F ⊥ . Pour x ∈ E, p F (x) s’appelle le projeté orthogonal de x sur F.
On a donc : p F ◦ p F = p F , Im( p F ) = F, Ker( p F ) = F ⊥
∀ x ∈ E,
p F (x) ∈ F, x − p F (x) ∈ F ⊥ .
Définition 3
Soient F un sev de E, x ∈ E. On appelle distance de x à F, et on note d(x,F), le
réel défini par :
d(x,F) = Inf
y ∈ F
||x − y||.
Proposition 3
Soient F un sev de E, x ∈ E. On a
∀ y ∈ F, ||x − y|| ||x − p F (x)||
∀ y ∈ F,
||x − y|| = ||x − p F (x)|| ⇐⇒ y = p F (x)
.
Le vecteur
( f ◦ g)(y) − (g ◦ f )(y)
est orthogonal à tout vecteur de E si
et seulement s’il est nul.
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Si k ∈ Z − , alors −k ∈ N.
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Exercices 4.3.1 à 4.3.4.
Autrement dit, l'application
F −→ R
y −→ ||x − y||
admet une borne
inférieure et celle-ci est atteinte en
p F (x) seulement.
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