4.3 • Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien
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Notons S(E) l'ensemble des endomorphismes symétriques de E .
Il est clair que S(E) est un sev de L(E) .
Proposition 1
Soient (E,< ·,· >) un eve, B une b.o.n. de E, f ∈ L(E), A = Mat B ( f ) . On a :
f ∈ S(E) ⇐⇒ A ∈ S n (R).
Preuve
On a :
∀ x,y ∈ E, < f (x),y > = < x, f (y) >
⇐⇒ ∀ X,Y ∈ M n,1 (R),
t
(AX)Y =
t X AY
⇐⇒ ∀ X ∈ M n,1 (R),
∀ Y ∈ M n,1 (R),
t ((A −
t A)X)Y = 0
⇐⇒ ∀ X ∈ M n,1 (R), (A −
t A)X = 0
⇐⇒ A −
t A = 0 ⇐⇒ A ∈ S n (R).
Remarques :
1) Soient (E,< ·,· >) un eve, B une b.o.n. de E . L'application
Mat B : S(E) −→ S n (R)
f −→ Mat B ( f )
est un isomorphisme de R -ev. En particulier, S(E) est de dimension finie et :
dim (S(E)) = dim (S n (R)) =
n(n + 1)
2
.
2) On veillera à ne pas confondre :
S(E; K ) et S(E)
fbs ϕ
et endomorphisme symétrique f
Mat B (ϕ) et Mat B ( f ).
Plus précisément l'application θ : S(E) −→ S(E; K ) qui, à chaque endomorphisme symétrique f de E associe la fbs ϕ définie par
∀ (x,y) ∈ E 2 , ϕ(x,y) = < x, f (y) >
est un isomorphisme de R -ev et, pour toute b.o.n. B de E : Mat B (ϕ) = Mat B ( f ), puisque, en
notant A = Mat B ( f ) ∈ S n (R), on a, pour tout (x,y) de en notant E 2 , X = Mat B (x),
Y = Mat B (y) :
< x, f (y) > = t X (AY ) = t X AY.
Proposition 2
On a :
1) ∀ f,g ∈ S(E),
g ◦ f ∈ S(E) ⇐⇒ g ◦ f = f ◦ g)
2) ∀ f ∈ S(E), ∀ k ∈ N, f k ∈ S(E)
3) ∀ f ∈ S(E) ∩ GL(E), ∀ k ∈ Z, f k ∈ S(E).
Cf. aussi ex. 4.1.1 p. 136.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Ainsi, le vocabulaire est cohérent : les
endomorphismes symétriques
correspondent, dans une b.o.n., aux
matrices symétriques.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Le vecteur (A −
t A)X est orthogonal
à tout vecteur de M n,1 (R), donc est
nul.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Étudier un endomorphisme symétrique
revient à étudier une matrice
symétrique, à l’aide d’une b.o.n.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Rappel de notation :
S(E,K ) est l’ensemble des formes
bilinéaires symétriques sur E.
Attention : le composé de deux
endomorphismes symétriques n’est pas,
en général, symétrique.
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Notons S(E) l'ensemble des endomorphismes symétriques de E .
Il est clair que S(E) est un sev de L(E) .
Proposition 1
Soient (E,< ·,· >) un eve, B une b.o.n. de E, f ∈ L(E), A = Mat B ( f ) . On a :
f ∈ S(E) ⇐⇒ A ∈ S n (R).
Preuve
On a :
∀ x,y ∈ E, < f (x),y > = < x, f (y) >
⇐⇒ ∀ X,Y ∈ M n,1 (R),
t
(AX)Y =
t X AY
⇐⇒ ∀ X ∈ M n,1 (R),
∀ Y ∈ M n,1 (R),
t ((A −
t A)X)Y = 0
⇐⇒ ∀ X ∈ M n,1 (R), (A −
t A)X = 0
⇐⇒ A −
t A = 0 ⇐⇒ A ∈ S n (R).
Remarques :
1) Soient (E,< ·,· >) un eve, B une b.o.n. de E . L'application
Mat B : S(E) −→ S n (R)
f −→ Mat B ( f )
est un isomorphisme de R -ev. En particulier, S(E) est de dimension finie et :
dim (S(E)) = dim (S n (R)) =
n(n + 1)
2
.
2) On veillera à ne pas confondre :
S(E; K ) et S(E)
fbs ϕ
et endomorphisme symétrique f
Mat B (ϕ) et Mat B ( f ).
Plus précisément l'application θ : S(E) −→ S(E; K ) qui, à chaque endomorphisme symétrique f de E associe la fbs ϕ définie par
∀ (x,y) ∈ E 2 , ϕ(x,y) = < x, f (y) >
est un isomorphisme de R -ev et, pour toute b.o.n. B de E : Mat B (ϕ) = Mat B ( f ), puisque, en
notant A = Mat B ( f ) ∈ S n (R), on a, pour tout (x,y) de en notant E 2 , X = Mat B (x),
Y = Mat B (y) :
< x, f (y) > = t X (AY ) = t X AY.
Proposition 2
On a :
1) ∀ f,g ∈ S(E),
g ◦ f ∈ S(E) ⇐⇒ g ◦ f = f ◦ g)
2) ∀ f ∈ S(E), ∀ k ∈ N, f k ∈ S(E)
3) ∀ f ∈ S(E) ∩ GL(E), ∀ k ∈ Z, f k ∈ S(E).
Cf. aussi ex. 4.1.1 p. 136.
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Ainsi, le vocabulaire est cohérent : les
endomorphismes symétriques
correspondent, dans une b.o.n., aux
matrices symétriques.
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Le vecteur (A −
t A)X est orthogonal
à tout vecteur de M n,1 (R), donc est
nul.
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Étudier un endomorphisme symétrique
revient à étudier une matrice
symétrique, à l’aide d’une b.o.n.
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Rappel de notation :
S(E,K ) est l’ensemble des formes
bilinéaires symétriques sur E.
Attention : le composé de deux
endomorphismes symétriques n’est pas,
en général, symétrique.