Chapitre 4 • Espaces préhilbertiens réels
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4.3 Endomorphismes remarquables
d'un espace vectoriel euclidien
Dans ce § 4.3, (E,< ·,· >) désigne un eve, n = dim (E) 1.
4.3.1 Endomorphismes symétriques
1) Généralités
Définition 1
Soit f ∈ L(E). On dit que f est symétrique (ou : auto-adjoint) si et seulement si :
∀ (x,y) ∈ E
2
, < f (x),y > = < x, f (y) > .
Les méthodes à retenir
Orthogonalité
• Pour obtenir certaines inégalités portant sur des produits scalaires ou des normes, il peut être intéressant d’introduire un paramètre λ réel dans une inégalité liée à la notion de produit scalaire, puis de faire varier λ et de choisir λ au mieux (ex. 4.2.12), cf. la preuve de l’inégalité de Cauchy-Schwarz, Algèbre PCSI-PTSI, § 10.1.2.
• Pour l’étude d’un espace vectoriel euclidien, songer à faire intervenir une base orthonormée (ex. 4.2.13).
• Pour montrer qu’un sev G d’un espace vectoriel euclidien E est l’orthogonal d’un sev F de E (ex. 4.2.14), il
suffit de montrer :
∀ x ∈ F, ∀ y ∈ G, < x,y > = 0
dim(F) + dim(G) = dim(E).
4.2.12 Soient (E,(·|·)), un espace préhilbertien réel, || · ||
la norme associée, F un sev de E , x ∈ E. Montrer :
x ∈ F
⊥ ⇐⇒
∀ y ∈ F, (x|y) ||y|| 2
.
4.2.13 Soient ϕ, ψ deux produits scalaires sur un R -ev E
de dimension finie tels que :
∀ (x,y) ∈ E 2 ,
ϕ(x,y) = 0 ⇒ ψ(x,y)= 0
.
Montrer qu'il existe α ∈ R ∗
+ tel que :
∀ (x,y) ∈ E 2 , ψ(x,y) = αϕ(x,y).
4.2.14 On munit M n (R) de son produit scalaire canonique. Quels sont les orthogonaux de D n (R),
S n (R) , A n (R) ?
4.2.15 Soient n ∈ N ∗ ,
A ∈ M n (R),X ∈ M n,1 (R) − {0},
H = {Y ∈ M n,1 (R); t XY = 0}.
Montrer que X est vecteur propre de t A si et seulement si
H est stable par A.
Exercices