4.2 • Rappels sur les espaces euclidiens
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© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Conseils
On applique le théorème du rang à A et à
t A A.
Attention : ne pas développer det ( t A A)
en det ( t A) det (A), qui n'est pas défini
puisque A est rectangulaire.
Ici, les matrices A et t A sont carrées.
C 1
C 1 + (C 2 + · · · + C n ).
L i
L i − L 1 , 2 i n.
Déterminant d'une matrice triangulaire
supérieure.
Car a ∈ [−
√
2
√
2], donc
a
2
2
1.
Solution
Ceci montre : Ker (
t
A A) ⊂ Ker (A), et donc, en passant aux dimensions :
dim
Ker (
t
A A)
dim
Ker (A)
.
Il en résulte, en utilisant le théorème du rang :
rg (
t
A A) = p − dim
Ker (
t
A A)
p − dim
Ker (A)
= rg (A).
Finalement : rg (
t
A A) = rg (A).
D'après 1), on peut conclure : rg
G(x 1 ,...,x p )
= rg (x 1 ,...,x p ).
3) • D'après 2) :
(x 1 ,...,x p ) liée ⇐⇒ rg (A) < p
⇐⇒ rg
G(x 1 ,...,x p )
< p ⇐⇒ γ (x 1 ,...,x p ) = 0.
• Si (x 1 ,...,x p ) est libre, alors, avec les notations de a) 1), p = n, A ∈ GL n (R),
donc :
γ (x 1 ,...,x p ) = det (
t
A A) = det (
t
A) det (A) =
det (A)
2 > 0.
Réciproquement, si γ (x 1 ,...,x p ) > 0, alors (x 1 ,...,x p ) n'est pas liée, donc est libre.
On conclut : (x 1 ,...,x p ) libre ⇐⇒ γ (x 1 ,...,x p ) > 0.
b) On a, pour tout (i, j) ∈ {1,...,n}
2 tel que i = j :
a
2 = ||u i − u j ||
2 = ||u i ||
2 − 2(u i | u j ) + ||u j ||
2 = 2 − 2(u i | u j ),
d'où : (u i | u j ) = 1 −
a
2
2
, noté b.
Calculons le déterminant de Gram de (u 1 ,...,u n ) :
γ (u 1 ,...,u n ) =
1 b
. . . b
b
. . . (b)
. . .
. . . (b)
. . . b
b . . .
b
1
[n]
=
1 + (n − 1)b
1 b
. . . b
1
. . . (b)
. . .
. . . (b)
. . . b
1 . . .
b
1
[n]
=
1 + (n − 1)b
1
b
. . . . . .
b
0 1− b 0 (0)
0
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
(0)
. . .
. . .
0
0
. . .
. . . 0 1− b
[n]
=
1 + (n − 1)b
(1 − b)
n−1 .
On a :
1 + (n − 1)b = 1 + (n − 1)
1 −
a
2
2
= n − (n − 1)
a
2
2
n − (n − 1) = 1,
et :
1 − b = 1 −
1 −
a
2
2
=
a
2
2
= 0, car a = 0.
On déduit γ (u 1 ,...,u n ) = 0, et, d'après a) 3), on conclut : (u 1 ,...,u n ) est libre.
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