Chapitre 4 • Espaces préhilbertiens réels
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Exercice-type résolu
Déterminant de Gram et un exemple
Soient
E,(. |. )
un espace préhilbertien réel, ||.|| la norme associée.
a) Pour p ∈ N
∗ et (x 1 ,...,x p ) ∈ E
p
, on note :



G(x 1 ,...,x p ) =
(x i | x j )
1i, j p
∈ M p (R)
γ (x 1 ,...,x p ) = det
G(x 1 ,...,x p )
,
appelés respectivement matrice de Gram et déterminant de Gram de la famille (x 1 ,...,x p ).
1) Soit B = (e 1 ,...,e n ) une bon de X = Vect (x 1 ,...,x p ) . On note A = Mat B (x 1 ,...,x p ). Montrer : G(x 1 ,...,x p ) =
t A A.
2) Établir :
rg
G(x 1 ,...,x p )
= rg (x 1 ,...,x p ).
3) Montrer :
(x 1 ,...,x p ) liée ⇐⇒ γ (x 1 ,...,x p ) = 0
(x 1 ,...,x p ) libre ⇐⇒ γ (x 1 ,...,x p ) > 0.
b) Soient p ∈ N
∗
, (u 1 ,...,u p ) une famille d'éléments de E telle qu'il existe a ∈ [−
√
2 ;
√
2] − {0} tel que :
∀ i ∈ {1,..., p}, ||u i || = 1
∀ (i, j) ∈ {1,..., p}
2
,
i = j ⇒ ||u i − u j || = a
.
Montrer que la famille (u 1 ,...,u p ) est libre.
Conseils
n
k=1
a ki a kj est le terme, ligne i , colonne j, de
la matrice t A A.
C'est un cas particulier de l'inclusion :
Im (g ◦ f ) ⊂ Im (g),
pour f ∈ L(E, f ), g ∈ L(F,G), E,F,G
K-ev.
D'après le Cours de MPSI, A et t A ont le
même rang.
||.|| 2 est la norme euclidienne canonique
sur M n,1 (R).
Solution
a) 1) L'eve X admet au moins une b.o.n. B = (e 1 ,...,e n ).
En notant A = Mat B (x 1 ,...,x p ) = (a i j ) i j ∈ M n, p (R), on a :
∀ j ∈ {1,..., p}, x j =
n
k=1
a k j e k ,
donc, puisque B est orthonormale :
∀ (i, j) ∈ {1,..., p}
2 , (x i | x j ) =
n
k=1
a ki a k j .
Il en résulte : G(x 1 ,...,x p ) =
t
A A.
2) • Soit Y ∈ Im (
t A A).
Il existe X ∈ M p,1 (R) tel que : Y = (
t A A)X.
On a alors : Y =
t
A(AX) ∈ Im (
t A).
Ceci montre : Im (
t A A) ⊂ Im (
t A), et donc, en passant aux dimensions :
rg (
t A A) rg (
t A) = rg (A).
• Soit X ∈ Ker (
t A A). On a alors (
t A A)X = 0, donc :
||AX||
2
2 =
t (AX)(AX) =
t X (
t A AX) = 0,
donc AX = 0, X ∈ Ker (A).