4.2 • Rappels sur les espaces euclidiens
143
Remarque :
En imposant à (V 1 ,. . . ,V p ) la condition :
∀ k ∈ {1,. . . ,p}, < V k ,e k >= 1,
il y a alors unicité de (V 1 ,. . . ,V p ), et la matrice de passage de (e 1 ,. . . ,e p ) à (V 1 ,. . . ,V p ) est
triangulaire supérieure à termes diagonaux égaux à 1 :
On abrège base orthonormale (ou : orthonormée) en : b.o.n.
Corollaire 1
Théorème de la base orthonormée incomplète
Pour toute famille orthonormale (e 1 ,. . . ,e p ) d'un eve E, il existe e p+1 ,. . . ,e n ∈ E
(où n = dim (E)) tels que (e 1 ,. . . ,e n ) soit une b.o.n. de E.
Corollaire 2
Tout eve admet au moins une b.o.n.
Proposition 4
Si B = (e 1 ,. . . ,e n ) est une b.o.n. de (E,< ·,· >) alors :
∀ x ∈ E, x =
n
i=1
< e i ,x > e i .
Proposition 5
Soient (E,<·,·>) un eve, B une base de E, A = Mat B (<·,·>). Alors :
B est orthogonale si et seulement si A ∈ D n (R)
B est orthonormale si et seulement si A = I n .
Preuve
D'après 4.1.2 1) Déf. p. 132 : A = (< e i ,e j >) 1i, jn .
᭿
Proposition 6
Si B est une b.o.n. de E, on a, pour tout (x,y) de E
2 et en notant X = Mat B (x),
Y = Mat B (y) :
< x,y > = t XY.


1
. . .
0
1


Décomposition d’un vecteur sur une
b.o.n.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Expression dans une b.o.n., du produit
scalaire de deux vecteurs.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Exercices 4.2.12 à 4.2.15.