Chapitre 4 • Espaces préhilbertiens réels
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3) Pour toute partie A de E, on définit l'orthogonal de A, noté A ⊥ :
A
⊥
= {x ∈ E; ∀ a ∈ A, < x,a > = 0}.
4) Une famille (x i ) i∈I d'éléments de E est dite orthogonale si et seulement si :
∀ (i, j) ∈ I
2
, (i = j ⇒ < x i ,x j > = 0).
5) Une famille (x i ) i∈I d'éléments de E est dite orthonormale si et seulement si :
(x i ) i∈I est orthogonale
∀ i ∈ I, ||x i || = 1.
Proposition 1
Soit (E,< ·,· >) un eve.
1) Pour toute partie A de E , A ⊥ est un sev de E.
2) ∀ (A,B) ∈ (P(E))
2
, (A ⊂ B ⇒ A ⊥ ⊃ B ⊥ ).
3) ∀ A ∈ P(E), A ⊥ =
Vect (A)
⊥ .
4) Pour tout sev F de E : F ⊕ F ⊥ = E, et donc : dim (F ⊥ ) = dim (E) − dim (F) .
5) ∀ A ∈ P(E), A ⊥⊥ = Vect (A).
6) E ⊥ = {0} et {0} ⊥ = E.
7) ∀ A ∈ P(E), A ∩ A ⊥ ⊂ {0}.
8) Pour tous sev F,G de E :
(F + G)
⊥
= F
⊥
∩ G
⊥ et (F ∩ G)
⊥
= F
⊥
+ G
⊥
.
Proposition 2
Soient (E,< ·,· >) un eve, (x i ) i∈I une famille dans E.
Si
(x i ) i∈I est orthogonale
∀ i ∈ I, x i = 0
, alors (x i ) i∈I est libre.
Proposition 3
Théorème de Pythagore
Soient (E,< ·,· >) un eve, (x,y) ∈ E
2 . On a :
x⊥y ⇐⇒ ||x + y||
2
= ||x||
2
+ ||y||
2
⇐⇒ ||x − y||
2
= ||x||
2
+ ||y||
2
.
Théorème
Orthogonalisation de Schmidt
Soient (E,< ·,· >) un eve, p ∈ N ∗ , (e 1 ,. . . ,e p ) une famille libre dans E. Il existe
(V 1 ,. . . ,V p ) ∈ E p tel que :
V 1 ,. . . ,V p sont deux à deux orthogonaux
∀ k ∈ {1,. . . ,p}, Vect (V 1 ,. . . ,V k ) = Vect (e 1 ,. . . ,e k )
(et donc : ∀k ∈ {1,. . . ,p}, V k = 0).
D’après 1) et 7) , si A est un sev de E,
alors :
A ∩ A ⊥ = {0} .
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Propriété souvent utile pour les exercices.
Le procédé d’orthogonalisation de
Schmidt intervient,par exemple,dans la
construction de suites de polynômes
orthogonaux.