4.2 • Rappels sur les espaces euclidiens
141
4.2.2 Orthogonalité
Définition
Soit (E,< ·,· >) un espace vectoriel euclidien.
1) Soit (x,y) ∈ E
2 ; on dit que x est orthogonal à y, et on note x⊥y, si et seulement
si : < x,y > = 0.
2) Soient x ∈ E, A ∈ P(E) ; on dit que x est orthogonal à A, et on note x⊥A, si et
seulement si : ∀ a ∈ A, < x,a > = 0.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
4.2.1 Soient E un R -ev = {0}, ϕ un produit scalaire
sur E , (a,b,c) ∈ R 3 , ψ : E × E −→ R définie par :
ψ(x,y) = aϕ(x,x) + bϕ(x,y) + cϕ(y,y) .
CNS sur (a,b,c) pour que ψ soit un produit scalaire sur E .
4.2.2 Soient n ∈ N ∗ , A,B ∈ M n (R),X, Y ∈ M n,1 (R).
Montrer :
(
t X
t ABY )
2
(
t X
t A AX)(
t Y
t B BY ).
4.2.3 Soient n, p ∈ N ∗ , A ∈ M n, p (R). Montrer :
t A A = 0 ⇒ A = 0.
4.2.4 Soient n, p,q ∈ N ∗ , A ∈ M p,q (R), B, C ∈ M n, p (R).
Montrer :
B A t A = C A t A ⇒ B A = C A.
4.2.5 Soient n, p ∈ N ∗ , A ∈ M n, p (R). Comparer noyaux,
images, rangs de A, t A, t A A, A t A .
4.2.6 Soient n ∈ N ∗ , A ∈ M n (R) telle que :
t A A = A t A et A 4 = 2A 2 − I n .
Montrer : A 2 = I n .
4.2.7 Soient n ∈ N ∗ , V ∈ M n,1 (R) − {0},
A =
0
t V
V
0
∈ M n+1 (R) .
Quels sont les rangs de A et A 2 ?
4.2.8 Soient n ∈ N ∗ , A,B ∈ M n (R) tels que (A,B) soit
libre, et f : M n (R) −→ M n (R) définie par :
∀ X ∈ M n (R), f (X) = tr ( t AX)B − tr (
t B X)A.
L'endomorphisme f de M n (R) est-il diagonalisable ?
4.2.9
Soient n, p ∈ N ∗ , A ∈ M n, p (R) telle que
rg(A) = p ; on note B = t A A.
a) Montrer : B ∈ GL p (R). (Utiliser l'ex. 4.2.5).
b) On note C = AB −1 t A. Établir :
C 2 = C, Im(C) = Im(A), Ker(C) = Ker( t A).
4.2.10 Soient n ∈ N − {0,1}, H ∈ M n (R) non symétrique et telle que rg(H ) = 1 ; on note A = H + t H .
a) Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres
de A (dans M n,1 (R) ). On pourra montrer qu'il existe
(U,V ) ∈
M n,1 (R)
2 libre tel que H = U t V, puis exprimer les vp et les − →
vp de H en fonction de U et V.
b) A est-elle diagonalisable (dans M n (R)) ?
4.2.11 Soit A ∈ M n (R) telle que :
∀ V ∈ M n,1 (R), ||AV || ||V ||,
où || · || est la norme euclidienne canonique sur M n,1 (R) .
a) Montrer :
∀ V ∈ M n,1 (R), || t AV || ||V ||.
b) Montrer :
∀ V ∈ M n,1 (R), (AV = V ⇐⇒ t AV = V ) .
c) Établir que Ker(A − I n ) et Im(A − I n ) sont supplémentaires dans M n,1 (R) .
Exercices
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4.2.2 Orthogonalité
Définition
Soit (E,< ·,· >) un espace vectoriel euclidien.
1) Soit (x,y) ∈ E
2 ; on dit que x est orthogonal à y, et on note x⊥y, si et seulement
si : < x,y > = 0.
2) Soient x ∈ E, A ∈ P(E) ; on dit que x est orthogonal à A, et on note x⊥A, si et
seulement si : ∀ a ∈ A, < x,a > = 0.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
4.2.1 Soient E un R -ev = {0}, ϕ un produit scalaire
sur E , (a,b,c) ∈ R 3 , ψ : E × E −→ R définie par :
ψ(x,y) = aϕ(x,x) + bϕ(x,y) + cϕ(y,y) .
CNS sur (a,b,c) pour que ψ soit un produit scalaire sur E .
4.2.2 Soient n ∈ N ∗ , A,B ∈ M n (R),X, Y ∈ M n,1 (R).
Montrer :
(
t X
t ABY )
2
(
t X
t A AX)(
t Y
t B BY ).
4.2.3 Soient n, p ∈ N ∗ , A ∈ M n, p (R). Montrer :
t A A = 0 ⇒ A = 0.
4.2.4 Soient n, p,q ∈ N ∗ , A ∈ M p,q (R), B, C ∈ M n, p (R).
Montrer :
B A t A = C A t A ⇒ B A = C A.
4.2.5 Soient n, p ∈ N ∗ , A ∈ M n, p (R). Comparer noyaux,
images, rangs de A, t A, t A A, A t A .
4.2.6 Soient n ∈ N ∗ , A ∈ M n (R) telle que :
t A A = A t A et A 4 = 2A 2 − I n .
Montrer : A 2 = I n .
4.2.7 Soient n ∈ N ∗ , V ∈ M n,1 (R) − {0},
A =
0
t V
V
0
∈ M n+1 (R) .
Quels sont les rangs de A et A 2 ?
4.2.8 Soient n ∈ N ∗ , A,B ∈ M n (R) tels que (A,B) soit
libre, et f : M n (R) −→ M n (R) définie par :
∀ X ∈ M n (R), f (X) = tr ( t AX)B − tr (
t B X)A.
L'endomorphisme f de M n (R) est-il diagonalisable ?
4.2.9
Soient n, p ∈ N ∗ , A ∈ M n, p (R) telle que
rg(A) = p ; on note B = t A A.
a) Montrer : B ∈ GL p (R). (Utiliser l'ex. 4.2.5).
b) On note C = AB −1 t A. Établir :
C 2 = C, Im(C) = Im(A), Ker(C) = Ker( t A).
4.2.10 Soient n ∈ N − {0,1}, H ∈ M n (R) non symétrique et telle que rg(H ) = 1 ; on note A = H + t H .
a) Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres
de A (dans M n,1 (R) ). On pourra montrer qu'il existe
(U,V ) ∈
M n,1 (R)
2 libre tel que H = U t V, puis exprimer les vp et les − →
vp de H en fonction de U et V.
b) A est-elle diagonalisable (dans M n (R)) ?
4.2.11 Soit A ∈ M n (R) telle que :
∀ V ∈ M n,1 (R), ||AV || ||V ||,
où || · || est la norme euclidienne canonique sur M n,1 (R) .
a) Montrer :
∀ V ∈ M n,1 (R), || t AV || ||V ||.
b) Montrer :
∀ V ∈ M n,1 (R), (AV = V ⇐⇒ t AV = V ) .
c) Établir que Ker(A − I n ) et Im(A − I n ) sont supplémentaires dans M n,1 (R) .
Exercices