Chapitre 4 • Espaces préhilbertiens réels
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Conseils
t ne dépend pas de i .
La sommation
0i = jn
comporte (n + 1)n
termes, tous égaux.
Solution
Notons t =
k
k − 1
n
j=0
a j .
Si t = 0, alors a 0 = ... = a n = t = 0, contradiction.
Donc t = 0, puis : 0 =
n
j=0
a j u j = t
n
j=0
u j , donc :
n
j=0
u j = 0.
Ensuite :
0 =
n
j=0
u j
2
=
n
j=0
||u j ||
2 +
0i = jn
(u i | u j )
= (n + 1) + (n + 1)nk = (n + 1)(1 + nk).
On déduit : k = −
1
n
et donc : α = Arccos
−
1
n
.
On peut faire un schéma pour n = 1, 2, 3
n = 1
α = Arccos (–1)= π
π
u 1
u 0
n = 2
u 1
u 2
u 0
2π
3
α = Arccos
2π
3
2
1
–
=
n = 3
u 1
u 2
u 3
u 0
α = Arccos
3
1
–
Les méthodes à retenir
Produit scalaire
• Pour établir une inégalité portant sur des produits scalaires ou des normes, à utiliser éventuellement l’inégalité de Cauchy-Schwarz (ex. 4.2.2, 4.2.8, 4.2.11 a)).
• Pour montrer qu’une matrice réelle M (a priori rectangulaire) est nulle, il suffit de montrer que sa norme euclidienne usuelle est nulle, c’est-à-dire que tr(
t M M) = 0 (ex. 4.2.3, 4.2.4, 4.2.6).
• Le résultat de l’exercice 4.2.5, essentiellement l’égalité rg(
t A A) = rg(A), peut être utile pour d’autres exercices
(ex. 4.2.9). La ligne de calcul :
< X,
t
A AX >=
t
X
t
A AX =
t
(AX)AX = ||AX||
2
2
est importante.
• Pour étudier une matrice H de rang 1 (ex. 4.2.10), il peut être utile de se rappeler qu’on peut décomposer H
en H = U
t V, où U, V sont des colonnes (cf. Algèbre PCSI-PTSI, ex. 8.1.30).