4.2 • Rappels sur les espaces euclidiens
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Remarque :
Soient < .,. > un produit scalaire sur E , ||.|| la norme euclidienne associée. Les formules
obtenues en 4.1.1 Prop. 3, 3), 4), 5) pp. 131-132 peuvent être récrites sous la forme suivante,
pour tout (x,y) de E 2 :
||x + y|| 2 = ||x|| 2 + 2 < x,y > +||y|| 2
||x + y|| 2 − ||x − y|| 2 = 4 < x,y >
||x + y|| 2 + ||x − y|| 2 = 2(||x|| 2 + ||y|| 2 ).
L'inégalité de Cauchy-Schwarz (Th. 1) peut être récrite :
(< x,y >)
2
||x||
2 ||y||
2
et l'inégalité de Minkowski (Th. 2) peut être récrite :
||x + y|| ||x|| + ||y||.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Exercices 4.2.2 à 4.2.11.
Exercice-type résolu
Famille équiangulaire
Soient
E,( .| .)
un eve, ||.|| la norme euclidienne associée, n = dim (E).
Pour (u,v) ∈
E − {0})
2 , on définit l'angle de u et v par : Arccos
(u | v)
||u|| ||v||
.
On considère n + 1 éléments u 0 ,...,u n de E, unitaires, faisant deux à deux un même angle noté α, tel que α = 0.
Montrer
n
k=0
u k = 0 et calculer α.
Conseils
En particulier, les a i , 0 i n, sont tous
égaux.
Solution
Notons k = cos α ∈ [−1 ; 1[.
Par hypothèse :
∀ i ∈ {0,...,n}, ||u i || = 1
∀ (i, j) ∈ {1,...,n}
2
,
i = j ⇒ (u i | u j ) = k
.
Puisque dim (E) = n < n + 1, la famille (u 0 ,...,u n ) est liée.
Il existe donc (a 0 ,...,a n ) ∈ R
n+1
− {(0,...,0)} tel que :
n
j=0
a j u j = 0.
On a, pour tout i ∈ {0,...,n} :
0 =
u i
n
j=0
a j u j
=
n
j=0
a j (u i | u j ) = a i +
0 jn, j =i
a j k
= (a i − a i k) +
n
j=0
a j
k.
Comme k = 1, on déduit :
∀ i ∈ {0,...,n}, a i =
k
k − 1
n
j=0
a j .