Chapitre 4 • Espaces préhilbertiens réels
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Exemples :
1) Produit scalaire usuel sur R
n , n ∈ N
∗
L'application ϕ : R n × R n −→ R définie par :
ϕ((x 1 ,. . . ,x n ),(y 1 ,. . . ,y n )) =
n
k=1
x k y k
est un produit scalaire sur R n , appelé produit scalaire usuel (ou : canonique) sur R n .
2) Produit scalaire canonique sur M n, p (R)
L'application ϕ :
M n, p (R)
2 −→ R
(A,B) −→ tr( t AB)
est un produit scalaire sur M n, p (R), appelé produit
scalaire canonique sur M n, p (R).
Le produit scalaire canonique sur M n,1 (R) (ou M 1,n (R)) est, à la notation près, le produit
scalaire usuel sur R n .
Théorème 1
Inégalité de Cauchy-Schwarz
Soient (E,ϕ) un eve, φ la fq associée à ϕ. On a :
∀ (x,y) ∈ E
2
,
ϕ(x,y)
2 φ(x)φ(y).
Proposition 1 Étude du cas d'égalité dans l'inégalité de Cauchy-Schwarz
Soient (E,ϕ) un eve, φ la fq associée à ϕ, (x,y) ∈ E
2 ; on a :
ϕ(x,y)
2 = φ(x)φ(y) ⇐⇒ (x,y) lié.
Théorème 2
Inégalité de Minkowski
Soient (E,ϕ) un eve, φ la fq associée à ϕ ; on a :
∀ (x,y) ∈ E
2
,
φ(x + y)
1
2
φ(x)
1
2 +
φ(y)
1
2 .
Proposition 2
Étude du cas d'égalité dans l'inégalité de Minkowski
Soient (E,ϕ) un eve, φ la fq associée à ϕ, (x,y) ∈ E
2 ; on a :
φ(x + y)
1
2 =
φ(x)
1
2 +
φ(y)
1
2 ⇐⇒
x = 0
ou
∃ α ∈ R + , y = αx
.
On traduit cette dernière condition par : (x,y) est positivement liée.
Proposition – Définition 3
Soient (E,ϕ) un eve, φ la fq associée à ϕ. L'application || · || : E −→ R
x −→ (φ(x))
1
2
est une
norme sur E, appelée norme euclidienne associée à ϕ.
Ces deux exemples sont fondamentaux.
Revoir la définition et les propriétés de la
trace d’une matrice carrée, cf. Algèbre
PCSI-PTSI, § 8.1.9 et ce volume, Algèbre
et géométrie PC-PSI-PT, § 1.4.