4.2 • Rappels sur les espaces euclidiens
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4.2 Rappels sur les espaces euclidiens
L'étude des espaces préhilbertiens réels ou complexes figure déjà dans Analyse PC-PSI-PT,
§ 1.4, et celle des espaces euclidiens dans Algèbre PCSI-PTSI, §§ 10.1 et 10.2.
Pour le confort du lecteur, nous rappelons ici ce qui est nécessaire à la suite de notre étude.
Dans tout ce § 4.2, le corps utilisé est R , et E désigne un R -ev de dimension finie.
4.2.1 Produit scalaire
Définition 1
On appelle produit scalaire sur E toute fbs ϕ sur E × E telle qu'en notant φ la fq
associée à ϕ, on ait :
(i) ∀ x ∈ E, φ(x) 0
(ii) ∀ x ∈ E, (φ(x) = 0 ⇒ x = 0).
Lorsque ϕ est un produit scalaire, on note souvent (x|y) ou < x,y > ou x · y à la place de
ϕ(x,y).
Définition 2
On appelle espace euclidien tout couple (E,ϕ) où E est un R-ev de dimension finie
et ϕ un produit scalaire sur E.
On abrègera espace (vectoriel) euclidien en : eve.
a) Montrer que C est une relation d'équivalence dans
M n (R). Quels liens y a-t-il entre congruence, équivalence,
similitude ? On rappelle (cf. Algèbre PCSI-PTSI, 8.2.3 2)
Déf., et 8.2.4 Déf.1) que :
• deux matrices A,B de M n (R) sont dites équivalentes, et
on note A eq B, si et seulement si :
∃ P,Q ∈ GL n (R), B = Q
−1 AP
• deux matrices A,B de M n (R) sont dites semblables, et
on note A ∼ B si et seulement si :
∃ P ∈ GL n (R), B = P
−1 AP.
b) 1) A-t-on : ∀ α ∈ R, ∀ A,B,A ,B ∈ M n (R),
A C B
A
C B
⇒ α A + A
C α B + B
?
2) Montrer :
∀ A,B ∈ M n (R), (A C B ⇒ t A C t B).
c) Soit M ∈ GL n (R). Montrer :
∀ A,B ∈ M n (R), (A C B ⇒ t M AM C t M B M) .
La propriété subsiste-t-elle si on suppose seulement
M ∈ M n (R) ?
d) Soient A,B ∈ M p (R),A ,B ∈ M q (R). Montrer :
A C B
A C B ⇒
A 0
0 A
C
B 0
0 B
.
e) Soient A,B ∈ S n (R) . Montrer que A et B sont
congruentes si et seulement si elles représentent une même
fbs sur M n,1 (R) dans deux bases.
Exercice 4.2.1.
On note souvent E au lieu de (E,ϕ),le
contexte précisant ϕ.
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4.2 Rappels sur les espaces euclidiens
L'étude des espaces préhilbertiens réels ou complexes figure déjà dans Analyse PC-PSI-PT,
§ 1.4, et celle des espaces euclidiens dans Algèbre PCSI-PTSI, §§ 10.1 et 10.2.
Pour le confort du lecteur, nous rappelons ici ce qui est nécessaire à la suite de notre étude.
Dans tout ce § 4.2, le corps utilisé est R , et E désigne un R -ev de dimension finie.
4.2.1 Produit scalaire
Définition 1
On appelle produit scalaire sur E toute fbs ϕ sur E × E telle qu'en notant φ la fq
associée à ϕ, on ait :
(i) ∀ x ∈ E, φ(x) 0
(ii) ∀ x ∈ E, (φ(x) = 0 ⇒ x = 0).
Lorsque ϕ est un produit scalaire, on note souvent (x|y) ou < x,y > ou x · y à la place de
ϕ(x,y).
Définition 2
On appelle espace euclidien tout couple (E,ϕ) où E est un R-ev de dimension finie
et ϕ un produit scalaire sur E.
On abrègera espace (vectoriel) euclidien en : eve.
a) Montrer que C est une relation d'équivalence dans
M n (R). Quels liens y a-t-il entre congruence, équivalence,
similitude ? On rappelle (cf. Algèbre PCSI-PTSI, 8.2.3 2)
Déf., et 8.2.4 Déf.1) que :
• deux matrices A,B de M n (R) sont dites équivalentes, et
on note A eq B, si et seulement si :
∃ P,Q ∈ GL n (R), B = Q
−1 AP
• deux matrices A,B de M n (R) sont dites semblables, et
on note A ∼ B si et seulement si :
∃ P ∈ GL n (R), B = P
−1 AP.
b) 1) A-t-on : ∀ α ∈ R, ∀ A,B,A ,B ∈ M n (R),
A C B
A
C B
⇒ α A + A
C α B + B
?
2) Montrer :
∀ A,B ∈ M n (R), (A C B ⇒ t A C t B).
c) Soit M ∈ GL n (R). Montrer :
∀ A,B ∈ M n (R), (A C B ⇒ t M AM C t M B M) .
La propriété subsiste-t-elle si on suppose seulement
M ∈ M n (R) ?
d) Soient A,B ∈ M p (R),A ,B ∈ M q (R). Montrer :
A C B
A C B ⇒
A 0
0 A
C
B 0
0 B
.
e) Soient A,B ∈ S n (R) . Montrer que A et B sont
congruentes si et seulement si elles représentent une même
fbs sur M n,1 (R) dans deux bases.
Exercice 4.2.1.
On note souvent E au lieu de (E,ϕ),le
contexte précisant ϕ.