Chapitre 4 • Espaces préhilbertiens réels
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Conseils
Expression d'une fbs dans une base,
cf. § 4.1.2 1) Prop. 1.
On reconnaît le terme ligne i , colonne j du
produit de trois matrices.
Les matrices t A, S, B sont carrées.
L'ev E admet au moins une base B.
La j-ème colonne de Mat B ( f (x 1 ),..., f (x n ))
est formée des coordonnées de f (x j )
dans B, donc est la j-ème colonne de F A.
Les matrices F,A,S,B sont toutes carrées et
de même ordre.
Utilisation de a).
Solution
D'où, pour tout (i, j) ∈ {1,...,n}
2 :
ϕ(x i ,y j ) = ( a 1i . . . a ni ) S



b 1 j
. . .
b nj


 =
1k,ln
a ki s kl b l j
=
n
k=1
a ki
n
l=1
s kl b l j
=
t A(S B)
i j
.
Il en résulte :
D
(x 1 ,...,x n ),(y 1 ,...,y n )
= det (
t AS B)
= det (
t A) det (S) det (B) = det (A) det (S) det (B).
b) Soit B = (e 1 ,...,e n ) une base de E. Notons F = Mat B ( f ), G = Mat B (g),
S = Mat B (ϕ). Soient (x 1 ,...,x n ),(y 1 ,...,y n ) ∈ E
n
. Notons A = Mat B (x 1 ,...,x n ),
B = Mat B (y 1 ,...,y n ).
On a alors Mat B
f (x 1 ),..., f (x n )
= F A et Mat B
g(y 1 ),...,g(y n )
= G B.
On déduit de a) :
D
f (x 1 ),..., f (x n )
,
g(y 1 ),...,g(y n )
= det (F A) det (S) det (G B)
=
det (F)det (A)
det (S)
det (G)det (B)
= det (F) det (G)
det (A) det (S) det (B)
= det (F) det (G) D
(x 1 ,...,x n ),(y 1 ,...,y n )
.
Les méthodes à retenir
Formes bilinéaires symétriques, formes quadratiques
• Pour simplifier par
t X ou par Y dans des expressions du genre
t X AY où X,Y sont des matrices-colonnes et A
une matrice carrée, essayer de faire intervenir le produit scalaire canonique (X,Y ) −→
t XY sur M n,1 (R), et de
faire apparaître un vecteur fixe orthogonal à tout vecteur de M n,1 (R) (ex. 4.1.1 a)).
4.1.1 a) Soit (A,B) ∈ (M n (R)) 2 . Montrer :
∀ (X,Y ) ∈
M n,1 (R)
2 , t X AY = t X BY
⇐⇒ A = B.
b) Soit (A,B) ∈
S n (R)
2 . Montrer :
∀ X ∈ M n,1 (R), t X AX = t X B X
⇐⇒ A = B.
c) Soit A ∈ M n (R). Montrer :
∀ X ∈ M n,1 (R), t X AX = 0
⇐⇒ A ∈ A n (R).
4.1.2 Matrices congruentes
Dans M n (R), on définit la relation « être congruente à »,
notée ici C, par :
A C B ⇐⇒
∃ P ∈ GL n (R), B = t P AP
.
Exercices