4.1 • Formes bilinéaires symétriques, formes quadratiques
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3) Changement de base pour une fbs
Proposition 3
Soient
ϕ une fbs surE × E
B,B deux bases de E
P = Pass(B,B )
A = Mat B (ϕ), A = Mat B (ϕ).
On a alors : A =
t P AP.
Preuve
Soient x,y ∈ E, X = Mat B (x), Y = Mat B (y), X = Mat B (x), Y = Mat B (y) ; on a donc :
X = P X et Y = PY (cf. Algèbre PCSI-PTSI, 8.2.2 Prop.).
D'une part :
ϕ(x,y) = t X A Y .
D'autre part :
ϕ(x,y) = t X AY = t (P X )A(PY ) = t X t P AP Y .
Par unicité de la matrice de ϕ dans B et puisque t P AP ∈ S n (K ), on conclut : A = t P AP .
᭿
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Formule de changement de base pour
une fbs.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Exercices 4.1.1 à 4.1.2.
Exercice-type résolu
Étude du déterminant de la matrice de terme général ϕ(x i ,y j )
Soient E un K-ev de dimension finie, n = dim (E), ϕ une fbs sur E.
On note :
D : (E
n )
2 −→ K ,
(x 1 ,...,x n ),(y 1 ,...,y n )
−→ det
ϕ(x i ,y j )
1i, jn
.
a) Soient B = (e 1 ,...,e n ) une base de E, S = Mat B (ϕ). Montrer que, pour tous (x 1 ,...,x n ),(y 1 ,...,y n ) de E
n , en notant
A = Mat B (x 1 ,...,x n ), B = Mat B (y 1 ,...,y n ), on a :
D
(x 1 ,...,x n ),(y 1 ,...,y n )
= det (A) det (S) det (B).
b) En déduire, pour tous f,g ∈ L(E) et tous (x 1 ,...,x n ),(y 1 ,...,y n ) de E
n :
D
f (x 1 ),..., f (x n )
,
g(y 1 ,),...,g(y n )
= det ( f ) det (g)D
(x 1 ,...,x n ),(y 1 ,...,y n )
.
Conseils
Solution
a) Notons A = (a i j ) i j , B = (b i j ) i j , S = (s i j ) i j . On a donc :
∀ j ∈ {1,...,n}, x j =
n
k=1
a k j e k
et
y j =
n
k=1
b k j e k .