Chapitre 4 • Espaces préhilbertiens réels
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De plus, pour tout (i, j) de {1,. . . ,n} 2 :
ϕ(e i ,e j ) = t E i AE j = a i j
donc Mat B (ϕ) = A.
Ceci montre que Mat B est surjective.
3) Soit ϕ ∈ S(E; K ) telle que Mat B (ϕ) = 0.
On a alors : ∀ (i, j) ∈{1,. . . ,n} 2 , ϕ(e i ,e j ) = 0, d'où par bilinéarité (cf. 4.1.1 Prop.1 p. 130) :
∀ (x,y) ∈ E 2 , ϕ(x,y) = 0,
et donc ϕ = 0 .
Ainsi, Mat B est injective.
᭿
Remarque :
On a donc :
∀ (A,B) ∈ (S n (K ))
2 ,
(∀ (X,Y ) ∈ M n,1 (K )
2 ,
t
X AY =
t
X BY
⇒ A = B
.
En particulier, puisque dim
S n (K )
=
n(n + 1)
2
(cf. Algèbre PCSI-PTSI, 8.4.1 1)), on a aussi :
dim (S(E ; K )) =
n(n + 1)
2
.
2) Notion de polynôme quadratique, règle du dédoublement
Étant donné n variables x 1 ,. . . ,x n , on appelle polynôme quadratique en x 1 ,. . . ,x n toute application φ : K n −→ K telle qu'il existe des éléments α ii (1 i n) et α i j (1 i < j n) de K
tels que :
∀ (x 1 ,. . . ,x n ) ∈ K
n , φ(x 1 ,. . . ,x n ) =
n
i=1
α ii x 2
i + 2
1i< jn
α i j x i x j .
Par exemple, la « forme générale » d'un polynôme quadratique à deux variables x 1 ,x 2 est :
φ(x 1 ,x 2 ) = α 11 x 2
1 + 2α 12 x 1 x 2 + α 22 x 2
2 .
Avec les notations précédentes, φ est une fq sur K n et la matrice de la forme polaire ϕ de φ dans
la base canonique de K n est :





α 11 α 12 . . . α 1n
α 12 α 22 . . . α 2n
. . .
. . .
. . .
. . .
α 1n α 2n . . . α nn





.
On peut, à partir de φ, retrouver ϕ par la règle dite du dédoublement : connaissant
φ(x 1 ,. . . ,x n ) =
n
i=1
α ii x 2
i + 2
1i< jn
α i j x i x j ,
on obtient ϕ
(x 1 ,. . . ,x n ),(y 1 ,. . . ,y n )
=
n
i=1
α ii x i y i +
1i< jn
α i j (x i y j + x j y i )
en dédoublant :
x 2
i en x i y i
(1 i n)
2x i x j en x i y j + x j y i (1 i < j n).
(E k ) 1kn est la base canonique de
M n,1 (K ).
Ce paragraphe n’est pas au programme,
mais éclaire la situation.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier