Chapitre 4 • Espaces préhilbertiens réels
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Conseils
Racine carrée d'une matrice symétrique
définie-positive, cf. ex. 4.5.62 p. 184.
Si une matrice carrée est semblable à une
matrice diagonalisable, alors elle est ellemême diagonalisable.
Solution
D'autre part, comme S ∈ S
++
n , d'après un exercice classique, il existe R ∈ S
++
n telle
que R
2
= S.
La matrice R
−1
(AS)R
−1 est alors symétrique, car :
t
R
−1 (AS)R
−1
=
t R
−1 t (AS)
t R
−1 = R
−1 (AS)R
−1 .
Il en résulte, d'après le théorème fondamental, que R
−1
(AS)R
−1 est diagonalisable
dans M n (R).
Mais :
R
−1 (AS)R
−1 = R
−1 (AR
2 )R
−1 = R
−1 AR.
Ainsi, A est semblable à R
−1
(AS)R
−1 et R
−1
(AS)R
−1 est symétrique réelle donc
diagonalisable.
On conclut que A est diagonalisable.
Exercice-type résolu 2
Convexité, inégalité de Hadamard
Soient n ∈ N
∗
, S = (a i j ) i j ∈ S
+
n .
a) On suppose ici S ∈ S
++
n . On note λ 1 ,...,λ n les valeurs propres de S. Soit f : ]0 ; +∞[ −→ R une application convexe.
Montrer :
n
i=1
f (a ii )
n
k=1
f (λ k ).
b) En déduire l'inégalité de Hadamard :
det (S)
n
i=1
a ii .
Conseils
Lorsqu'une matrice symétrique réelle intervient, penser à utiliser éventuellement le
théorème fondamental.
Terme général du produit de trois matrices,
P D t P, dont l'une, D, est diagonale.
La matrice P est orthogonale, donc la
somme des carrés des termes de chaque
ligne est égale à 1.
E i est la i -ème matrice colonne de la base
canonique de M n,1 (R).
Solution
a) Puisque S ∈ S
++
n
⊂ S n (R), d'après le théorème fondamental, il existe
P ∈ O n (R) telle que, en notant D = diag (λ 1 ,...,λ n ), on ait : S = P D P
−1
.
En notant P = ( p i j ) i j , on a, pour tout (i, j) ∈ {1,...,n}
2 :
a i j =
n
k=1
p ik λ k p jk =
n
k=1
p ik p jk λ k .
Soit i ∈ {1,...,n} fixé. On a a ii =
n
k=1
p
2
ik λ k et :

  
  
∀ k ∈ {1,...,n}, p
2
ik 0
n
k=1
p
2
ik = 1.
De plus, comme S ∈ S
++
n , on a : ∀ k ∈ {1,...,n}, λ k > 0,
et ∀ i ∈ {1,...,n}, a ii =
t E i SE i .