Chapitre 4 • Espaces préhilbertiens réels
132
2) ∀ (α,β) ∈ K
2
,∀ (x,y) ∈ E
2
,
φ(αx + βy) = α
2
φ(x) + 2αβϕ(x,y) + β
2
φ(y)
3) ∀ (x,y) ∈ E
2
, φ(x + y) = φ(x) + 2ϕ(x,y) + φ(y)
4) ∀ (x,y) ∈ E
2
, ϕ(x,y) =
1
4
φ(x + y) − φ(x − y)
5) ∀ (x,y) ∈ E
2
, φ(x + y) + φ(x − y) = 2
φ(x) + φ(y)
.
Remarque :
Les formules 3) et 4) précédentes montrent que φ détermine entièrement ϕ ; ϕ est appelée
la forme polaire de φ.
Définition 4
Soit φ : E −→ K une application. On dit que φ est une forme quadratique si et seulement s'il existe une fbs ϕ : E × E −→ K telle que φ soit la fq associée à ϕ.
Remarque :
Notons Q(E) l'ensemble des fq sur E .
Il est clair que l'application U : S(E; K ) −→ Q(E) qui, à toute fbs ϕ sur E × E fait
correspondre la fq associée à ϕ , et l'application V : Q(E) −→ S(E; K ) qui, à toute fq φ
sur E associe la forme polaire de φ, sont des bijections réciproques l'une de l'autre.
4.1.2 Interprétation matricielle
Dans ce § 4.1.2, E désigne un K-ev de dimension finie, n = dim(E) 1 .
1) Matrice d’une fbs dans une base
Définition
Soient ϕ une fbs sur E × E et B = (e 1 ,. . . ,e n ) une base de E. On appelle matrice
de ϕ dans (ou : relativement à) B, et on note Mat B (ϕ), la matrice carrée d'ordre n,
symétrique, suivante :
Mat B (ϕ) =
ϕ(e i ,e j )
1i, jn .
Exemple :
Considérons E = R 2 muni de sa base canonique B = (e 1 ,e 2 ), (α,β,γ ) ∈ R 3 et
ϕ :
R
2 × R
2 −→ R
((x 1 ,x 2 ),(y 1 ,y 2 )) −→ αx 1 y 1 + β(x 1 y 2 + x 2 y 1 ) + γ x 2 y 2
.
Il est clair que ϕ est une fbs sur R 2 × R 2 , et on a :
ϕ(e 1 ,e 1 ) = α, ϕ(e 1 ,e 2 ) = ϕ(e 2 ,e 1 ) = β, ϕ(e 2 ,e 2 ) = γ,
donc : Mat B (ϕ) =
α β
β γ
.
Rappelons que la notation Mat B (.) a été définie par ailleurs pour un vecteur de E
(Mat B (x) pour x ∈ E, cf. Algèbre PCSI-PTSI, 8.1.2 Déf. 1) et pour un endomorphisme de E
(Mat B ( f ) pour f ∈ L(E) , cf. Algèbre PCSI-PTSI, 8.1.2 Déf. 3).
La formule 3) ou la formule 4),exprimant
ϕ(x,y) à l’aide de φ, porte le nom
d’identité de polarisation.
En pratique, pour montrer qu’une
application
φ : E −→ K
est une forme quadratique,on construit
une forme bilinéaire symétrique
ϕ : E × E −→ K
telle que :
∀ x ∈ E, φ(x) = ϕ(x,x) .
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
La matrice Mat B (ϕ) est symétrique
car ϕ étant symétrique, on a, pour tout
(i, j) ∈ {1,. . . ,n}
2 :
ϕ(e i ,e j ) = ϕ(e j ,e i ).
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
132
2) ∀ (α,β) ∈ K
2
,∀ (x,y) ∈ E
2
,
φ(αx + βy) = α
2
φ(x) + 2αβϕ(x,y) + β
2
φ(y)
3) ∀ (x,y) ∈ E
2
, φ(x + y) = φ(x) + 2ϕ(x,y) + φ(y)
4) ∀ (x,y) ∈ E
2
, ϕ(x,y) =
1
4
φ(x + y) − φ(x − y)
5) ∀ (x,y) ∈ E
2
, φ(x + y) + φ(x − y) = 2
φ(x) + φ(y)
.
Remarque :
Les formules 3) et 4) précédentes montrent que φ détermine entièrement ϕ ; ϕ est appelée
la forme polaire de φ.
Définition 4
Soit φ : E −→ K une application. On dit que φ est une forme quadratique si et seulement s'il existe une fbs ϕ : E × E −→ K telle que φ soit la fq associée à ϕ.
Remarque :
Notons Q(E) l'ensemble des fq sur E .
Il est clair que l'application U : S(E; K ) −→ Q(E) qui, à toute fbs ϕ sur E × E fait
correspondre la fq associée à ϕ , et l'application V : Q(E) −→ S(E; K ) qui, à toute fq φ
sur E associe la forme polaire de φ, sont des bijections réciproques l'une de l'autre.
4.1.2 Interprétation matricielle
Dans ce § 4.1.2, E désigne un K-ev de dimension finie, n = dim(E) 1 .
1) Matrice d’une fbs dans une base
Définition
Soient ϕ une fbs sur E × E et B = (e 1 ,. . . ,e n ) une base de E. On appelle matrice
de ϕ dans (ou : relativement à) B, et on note Mat B (ϕ), la matrice carrée d'ordre n,
symétrique, suivante :
Mat B (ϕ) =
ϕ(e i ,e j )
1i, jn .
Exemple :
Considérons E = R 2 muni de sa base canonique B = (e 1 ,e 2 ), (α,β,γ ) ∈ R 3 et
ϕ :
R
2 × R
2 −→ R
((x 1 ,x 2 ),(y 1 ,y 2 )) −→ αx 1 y 1 + β(x 1 y 2 + x 2 y 1 ) + γ x 2 y 2
.
Il est clair que ϕ est une fbs sur R 2 × R 2 , et on a :
ϕ(e 1 ,e 1 ) = α, ϕ(e 1 ,e 2 ) = ϕ(e 2 ,e 1 ) = β, ϕ(e 2 ,e 2 ) = γ,
donc : Mat B (ϕ) =
α β
β γ
.
Rappelons que la notation Mat B (.) a été définie par ailleurs pour un vecteur de E
(Mat B (x) pour x ∈ E, cf. Algèbre PCSI-PTSI, 8.1.2 Déf. 1) et pour un endomorphisme de E
(Mat B ( f ) pour f ∈ L(E) , cf. Algèbre PCSI-PTSI, 8.1.2 Déf. 3).
La formule 3) ou la formule 4),exprimant
ϕ(x,y) à l’aide de φ, porte le nom
d’identité de polarisation.
En pratique, pour montrer qu’une
application
φ : E −→ K
est une forme quadratique,on construit
une forme bilinéaire symétrique
ϕ : E × E −→ K
telle que :
∀ x ∈ E, φ(x) = ϕ(x,x) .
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
La matrice Mat B (ϕ) est symétrique
car ϕ étant symétrique, on a, pour tout
(i, j) ∈ {1,. . . ,n}
2 :
ϕ(e i ,e j ) = ϕ(e j ,e i ).
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier