4.1 • Formes bilinéaires symétriques, formes quadratiques
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2) Formes bilinéaires symétriques, formes quadratiques
Définition 2
Une application ϕ : E × E −→ K est dite symétrique si et seulement si :
∀ (x,y) ∈ E
2
, ϕ(y,x) = ϕ(x,y).
On abrègera forme bilinéaire symétrique en : fbs.
Nous notons S(E; K ) l'ensemble des formes bilinéaires symétriques sur E × E .
Il est immédiat que S(E; K ) est un K-ev, sev de L(E,E; K ).
La Proposition suivante est immédiate, et d'un usage commode.
Proposition 2
Pour qu'une application ϕ : E × E −→ K soit une fbs, il faut et il suffit que l'on ait :
ϕ est symétrique
ϕ est linéaire par rapport à la 2 ème place.
Définition 3
Soit ϕ une fbs sur E × E. On appelle forme quadratique associée à ϕ l'application,
souvent notée φ, de E dans K définie par :
∀ x ∈ E, φ(x) = ϕ(x,x).
On abrègera forme quadratique en : fq.
Exemples :
1) Le produit scalaire canonique sur R n , défini par R
n
× R
n
−→ R
((x 1 ,. . . ,x n ),(y 1 ,. . . ,y n )) −→
n
k=1
x k y k
est une fbs et la fq associée est
R n −→ R
(x 1 ,. . . ,x n ) −→
n
k=1
x 2
k
.
2) L'application ϕ : R
2
× R
2
−→ R
((x 1 ,x 2 ),(y 1 ,y 2 )) −→ x 1 y 2 + x 2 y 1
est une fbs et la fq associée
est φ :
R 2 −→ R
(x 1 ,x 2 ) −→ 2x 1 x 2
.
La Proposition suivante est immédiate à partir de Prop.1 p. 130.
Proposition 3
Soient ϕ une fbs sur E × E, φ la fq associée à ϕ. On a :
1) ∀ n ∈ N ∗ , ∀ α 1 ,. . . ,α n ∈ K , ∀ x 1 ,. . . ,x n ∈ E,
φ
n
i=1
α i x i
=
n
i=1
α
2
i φ(x i ) + 2
1i < jn
α i α j ϕ(x i ,x j )
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Autrement dit,la symétrie et la linéarité
par rapport à la deuxième place
entraînent la linéarité par rapport à la
première place.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Cf. aussi Analyse PC-PSI-PT, 1.4.1 Déf. 1,
et Algèbre PCSI-PTSI, 10.1.1, Déf. 1.
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Gé
ométrie Monier
Bien distinguer les ensembles de départ
de ϕ et de φ :
ϕ : E × E −→ K ,
φ : E −→ K .