Chapitre 4 • Espaces préhilbertiens réels
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4.1 Formes bilinéaires symétriques,
formes quadratiques
Dans ce § 4.1, K désigne R ou C .
4.1.1 Généralités
Dans ce § 4.1.1, E désigne un K-ev.
1) Formes bilinéaires
Définition 1
On appelle forme bilinéaire sur E × E toute application ϕ : E × E −→ K telle
que :
(i) ∀ α ∈ K , ∀(x,x ,y) ∈ E
3
, ϕ(αx + x ,y) = αϕ(x,y) + ϕ(x ,y)
(ϕ est linéaire par rapport à la 1 ère place)
(ii) ∀ β ∈ K , ∀ (x,y,y ) ∈ E
3 , ϕ(x,βy + y ) = βϕ(x,y) + ϕ(x,y )
(ϕ est linéaire par rapport à la 2 ème place).
Nous notons L(E,E; K ) l'ensemble des formes bilinéaires sur E × E (cf. § 2.2.1). Il est immédiat que L(E,E; K ) est un K-ev.
Proposition 1
Soient
ϕ
une
forme
bilinéaire
sur
E × E,(n, p) ∈ (N ∗ )
2 ,
α 1 ,. . . ,α n , β 1 ,. . . ,β p ∈ K , x 1 ,. . . ,x n ,y 1 ,. . . ,y p ∈ E . On a alors :
ϕ
n
i=1
α i x i ,
p
j=1
β j y j
=
1i n
1 j p
α i β j ϕ(x i ,y j ).
Preuve
On a, par récurrence immédiate sur n :
∀ Y ∈ E, ϕ
n
i=1
α i x i ,Y
=
n
i=1
α i ϕ(x i ,Y ),
ϕ
n
i=1
α i x i ,
p
j=1
β j y j
=
n
i=1
α i ϕ
x i ,
p
j=1
β i y j
=
n
i=1
α i
p
j=1
β j ϕ(x i ,y j )
=
1in
1 j p
α i β j ϕ(x i ,y j ).
d’où
Au lieu de « place », on dit aussi
« variable ».
On dit qu’on développe par bilinéarité.
Linéarité par rapport à la 1 ère place,puis
linéarité par rapport à la 2 ème place.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Il s’agit d’un cas particulier de la
Définition du § 2.2.1.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier