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CHAPITRE 4
Espaces
préhilbertiens réels
Introduction
La notion de produit scalaire, vue en première année, est un cas particulier
de la notion de forme bilinéaire symétrique, dont nous allons effectuer une
étude élémentaire.
Dans un espace vectoriel euclidien, certains endomorphismes sont remarquables : les endomorphismes symétriques et les endomorphismes orthogonaux.
Enfin, le théorème fondamental de ce chapitre est le théorème de réduction
orthogonale d’une matrice symétrique réelle, dont les applications sont
innombrables, en mathématiques et dans les mathématiques appliquées.
Prérequis
• Espaces vectoriels, applications linéaires, matrices, déterminants et systèmes linéaires (Algèbre PCSI-PTSI, ch. 6 à 9)
• Trace, blocs (§ 1.4)
• Déterminants, systèmes linéaires (ch. 2)
• Réduction des endomorphismes et des matrices carrées (ch. 3).
Objectifs
• Définition et propriétés élémentaires des formes bilinéaires symétriques
• Consolidation des acquis sur les espaces vectoriels euclidiens : produit
scalaire, inégalité de Cauchy-Schwarz, norme euclidienne, orthogonalité
• Définition et étude des endomorphismes symétriques et des endomorphismes orthogonaux
• Définition de la notion d’adjoint ; son lien, en dimension finie, avec la
transposition des matrices carrées
• Énoncé et utilisations du théorème fondamental, en particulier pour
l’étude des matrices symétriques positives et des matrices symétriques
définies-positives.
4.1 Formes bilinéaires
symétriques,
formes
quadratiques
130
Exercices
136
4.2 Rappels sur les espaces
euclidiens
137
Exercices
141, 146
4.3 Endomorphismes
remarquables
d’un espace vectoriel
euclidien
146
Exercices
153, 158
4.4 Adjoint
158
Exercices
162
4.5 Réduction des
matrices symétriques
réelles
163
Exercices
169, 180
Problème
186
Plan