Chapitre 3 • Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
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5) A ⊗ B = 0 ⇐⇒ (A = 0 ou B = 0)
6) En supposant A et B carrées, A ⊗ B est inversible si et
seulement si A et B sont inversibles, et on a alors
(A ⊗ B) −1 = A −1 ⊗ B −1
7) A ⊗ B est nilpotente si et seulement si A ou B est nilpotente
8) t (A ⊗ B) = t A ⊗ t B
9) Si



A et A sont de même format
B et B sont de même format
A = 0 et B = 0
, alors :
A ⊗ B = A ⊗ B ⇐⇒ ∃ α ∈ K − {0},
A = α A
B =
1
α
B


10) • Si A et B sont symétriques, alors A ⊗ B est symétrique
• Si A ⊗ B est symétrique et A = 0 et B = 0, alors A et B
sont symétriques ou sont antisymétriques
11) Si B = 0, alors : A ⊗ B est triangulaire supérieure si et
seulement si A est triangulaire supérieure
12) Si A = 0 et B = 0, alors : A ⊗ B est diagonale si et
seulement si A et B sont diagonales
13) Si (A i ) i∈I (resp. (B j ) j∈J ) est une famille de matrices
commutant deux à deux, alors les A i ⊗ B j ((i, j) ∈ I × J )
commutent deux à deux.
14) • tr(A ⊗ B) = tr(A) tr(B)
• det(A ⊗ B) = (det(A)) p (det(B)) n .
II On suppose ici K algébriquement clos (par exemple
K = C).
Soient A ∈ M n (K ), B ∈ M p (K ),
χ A =
n
i=1
(λ i − X) , χ B =
p
j=1
(µ j − X) .
1) Etablir : χ A⊗B =
1in
1 j p
(λ i µ j − X).
2) On suppose dans cette question K = C, et on utilise le
vocabulaire des matrices hermitiennes (cf. 5.1.2 2) Déf. 2
p. 191). Montrer que, si A et B sont hermitiennes, alors
A ⊗ B est hermitienne.
3) Montrer que si A, B sont diagonalisables, alors A ⊗ B
est diagonalisable.
On peut montrer réciproquement que, si A ⊗ B est diagonalisable et si A = 0 et B = 0, alors A et B sont diagonalisables, en utilisant, par exemple, la décomposition de
Dunford (hors programme).