Problèmes
127
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
δ) ρ(P −1 AP) = ρ(A).
b) A-t-on, pour toutes A,B de M n (C),
ρ(A+ B) ρ(A)+ρ(B) ? ρ(AB) ρ(A)ρ(B) ?
On rappelle (cf. Analyse PC-PSI-PT, 1.1.1 4) Déf.) qu'une
norme || · || sur M n (C) est dite sous-multiplicative (ou :
norme d'algèbre) si et seulement si :
∀(A,B) ∈
M n (C)
2 , ||AB|| ||A|| ||B||.
On dit aussi multiplicative, ou : matricielle, au lieu de
sous-multiplicative.
2) a) Montrer que, si || · || est une norme sous-multiplicative sur M n (C), alors :
∀k ∈ N ∗ , ∀A ∈ M n (C), ||A k || ||A|| k .
b) Montrer que l'application N : M n (C) −→ R définie
par :
∀A = (a i j ) i j ∈ M n (C), N (A) = Max
1in
n
j=1
|a i j |
est une norme sous-multiplicative sur M n (C).
c) Soient || · || une norme sous-multiplicative sur M n (C)
et P ∈ GL n (C).
Montrer que l'application || · || P : M n (C) −→ R
définie par : ∀A ∈ M n (C), ||A|| P = ||P −1 AP||
est une norme sous-multiplicative sur M n (C).
3) Soit || · || une norme sous-multiplicative sur M n (C).
Etablir :
∀A ∈ M n (C), ρ(A) ||A||.
4) Soient A ∈ M n (C), ε ∈ R ∗
+ . Montrer qu'il existe une
norme sous-multiplicative || · || sur M n (C) telle que :
||A|| ρ(A) + ε.
Utiliser une trigonalisation A = PT P −1 de A,
T = (t i j ) i j ∈ T n,s (C) . Puis, pour u ∈ R ∗
+ , soit
D u = diag(u,u 2 ,. . . ,u n ) ; calculer D u T D −1
u
et montrer
que, pour u assez grand : N (D u T D −1
u ) ρ(A) + ε , où N
est définie en 2) b).
Définir enfin || · || par ||M|| = N (D u P −1 M P D −1
u ) pour
toute M de M n (C)
.
En notant N l'ensemble des normes sous-multiplicatives
sur M n (C), les résultats précédents (3) et 4)) montrent :
∀A ∈ M n (C), ρ(A) = Inf
||·||∈N
||A|| .
5) Démontrer :
∀A ∈ M n (C),
A k − − →
k∞
0 ⇐⇒ ρ(A) < 1
.
(Utiliser 3) et 4)).
6) Démontrer que, pour toute norme || · || sur M n (C) et
toute matrice A de M n (C) :
||A k ||
1
k − − →
k∞
ρ(A) .
(Commencer par montrer le résultat lorsque || · || est sousmultiplicative, en utilisant 3) et 4)).
7) Déduire de 6) que, si A,B ∈ M n (C) commutent, alors
ρ(AB) ρ(A)ρ(B) .
Autre méthode pour établir le résultat de 7) : utiliser l’exercice 3.4.12 p. 105.
8) a) Soit (A k ) k∈N une suite dans M n (C). Montrer que, si
A k − − →
k∞
0 , alors ρ(A k ) − − →
k∞
0.
b) Soient A ∈ M n (C), (B k ) k∈N , (P k ) k∈N deux suites dans
M n (C) telles que :
∀k ∈ N,
P k ∈ GL n (C) et B k = P k AP
−1
k
B k − − →
k∞
0.
Etablir que A est nilpotente.
9) Soient A = (a i j ) i j ∈ M n (C) , M = (m i j ) i j ∈ M n (R)
telles que :
∀(i, j) ∈ {1,. . . ,n} 2 , |a i j | m i j .
Démontrer : ρ(A) ρ(M).
P 3.2 Produit de Kronecker
K désigne un corps commutatif, n,n , p, p des entiers 1.
Pour A = (a i j ) i j ∈ M n,n (K ) et B ∈ M p, p (K ), on définit le produit de Kronecker de A et B, noté A ⊗ B, par :
A ⊗ B =
a 11 B . . . a 1n B
. . .
. . .
a n1 B . . . a nn B
∈ M np,n p (K ) .
La (longue) partie I est facile ; on y expose les propriétés de calcul du produit
de Kronecker.
I Propriétés élémentaires du produit de Kronecker
a) Pour A ∈ M n,n (K ), B ∈ M p, p (K ), on note f A,B :
M n , p (K ) −→ M n, p (K )
M −→ AM t B
.
Démontrer que A ⊗ B est la matrice de f A,B dans les bases
canoniques (ordonnées convenablement).
b) Montrer les résultats suivants (on précisera le format des
matrices envisagées) :
1)
(α A + α A ) ⊗ B = α A ⊗ B + α A ⊗ B
A ⊗ (β B + β B ) = β A ⊗ B + β A ⊗ B
2) (A ⊗ B)(A ⊗ B ) = (A A ) ⊗ (B B )
3) A ⊗ B = (A ⊗ I)(I ⊗ B)
4) ∀k ∈ N, (A ⊗ B) k = A k ⊗ B k
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© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
δ) ρ(P −1 AP) = ρ(A).
b) A-t-on, pour toutes A,B de M n (C),
ρ(A+ B) ρ(A)+ρ(B) ? ρ(AB) ρ(A)ρ(B) ?
On rappelle (cf. Analyse PC-PSI-PT, 1.1.1 4) Déf.) qu'une
norme || · || sur M n (C) est dite sous-multiplicative (ou :
norme d'algèbre) si et seulement si :
∀(A,B) ∈
M n (C)
2 , ||AB|| ||A|| ||B||.
On dit aussi multiplicative, ou : matricielle, au lieu de
sous-multiplicative.
2) a) Montrer que, si || · || est une norme sous-multiplicative sur M n (C), alors :
∀k ∈ N ∗ , ∀A ∈ M n (C), ||A k || ||A|| k .
b) Montrer que l'application N : M n (C) −→ R définie
par :
∀A = (a i j ) i j ∈ M n (C), N (A) = Max
1in
n
j=1
|a i j |
est une norme sous-multiplicative sur M n (C).
c) Soient || · || une norme sous-multiplicative sur M n (C)
et P ∈ GL n (C).
Montrer que l'application || · || P : M n (C) −→ R
définie par : ∀A ∈ M n (C), ||A|| P = ||P −1 AP||
est une norme sous-multiplicative sur M n (C).
3) Soit || · || une norme sous-multiplicative sur M n (C).
Etablir :
∀A ∈ M n (C), ρ(A) ||A||.
4) Soient A ∈ M n (C), ε ∈ R ∗
+ . Montrer qu'il existe une
norme sous-multiplicative || · || sur M n (C) telle que :
||A|| ρ(A) + ε.
Utiliser une trigonalisation A = PT P −1 de A,
T = (t i j ) i j ∈ T n,s (C) . Puis, pour u ∈ R ∗
+ , soit
D u = diag(u,u 2 ,. . . ,u n ) ; calculer D u T D −1
u
et montrer
que, pour u assez grand : N (D u T D −1
u ) ρ(A) + ε , où N
est définie en 2) b).
Définir enfin || · || par ||M|| = N (D u P −1 M P D −1
u ) pour
toute M de M n (C)
.
En notant N l'ensemble des normes sous-multiplicatives
sur M n (C), les résultats précédents (3) et 4)) montrent :
∀A ∈ M n (C), ρ(A) = Inf
||·||∈N
||A|| .
5) Démontrer :
∀A ∈ M n (C),
A k − − →
k∞
0 ⇐⇒ ρ(A) < 1
.
(Utiliser 3) et 4)).
6) Démontrer que, pour toute norme || · || sur M n (C) et
toute matrice A de M n (C) :
||A k ||
1
k − − →
k∞
ρ(A) .
(Commencer par montrer le résultat lorsque || · || est sousmultiplicative, en utilisant 3) et 4)).
7) Déduire de 6) que, si A,B ∈ M n (C) commutent, alors
ρ(AB) ρ(A)ρ(B) .
Autre méthode pour établir le résultat de 7) : utiliser l’exercice 3.4.12 p. 105.
8) a) Soit (A k ) k∈N une suite dans M n (C). Montrer que, si
A k − − →
k∞
0 , alors ρ(A k ) − − →
k∞
0.
b) Soient A ∈ M n (C), (B k ) k∈N , (P k ) k∈N deux suites dans
M n (C) telles que :
∀k ∈ N,
P k ∈ GL n (C) et B k = P k AP
−1
k
B k − − →
k∞
0.
Etablir que A est nilpotente.
9) Soient A = (a i j ) i j ∈ M n (C) , M = (m i j ) i j ∈ M n (R)
telles que :
∀(i, j) ∈ {1,. . . ,n} 2 , |a i j | m i j .
Démontrer : ρ(A) ρ(M).
P 3.2 Produit de Kronecker
K désigne un corps commutatif, n,n , p, p des entiers 1.
Pour A = (a i j ) i j ∈ M n,n (K ) et B ∈ M p, p (K ), on définit le produit de Kronecker de A et B, noté A ⊗ B, par :
A ⊗ B =
a 11 B . . . a 1n B
. . .
. . .
a n1 B . . . a nn B
∈ M np,n p (K ) .
La (longue) partie I est facile ; on y expose les propriétés de calcul du produit
de Kronecker.
I Propriétés élémentaires du produit de Kronecker
a) Pour A ∈ M n,n (K ), B ∈ M p, p (K ), on note f A,B :
M n , p (K ) −→ M n, p (K )
M −→ AM t B
.
Démontrer que A ⊗ B est la matrice de f A,B dans les bases
canoniques (ordonnées convenablement).
b) Montrer les résultats suivants (on précisera le format des
matrices envisagées) :
1)
(α A + α A ) ⊗ B = α A ⊗ B + α A ⊗ B
A ⊗ (β B + β B ) = β A ⊗ B + β A ⊗ B
2) (A ⊗ B)(A ⊗ B ) = (A A ) ⊗ (B B )
3) A ⊗ B = (A ⊗ I)(I ⊗ B)
4) ∀k ∈ N, (A ⊗ B) k = A k ⊗ B k