Chapitre 3 • Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
126
On a : AV 2 = 3V 2 + V 1 ⇐⇒
y = 3x + 1
z = 9x + 6
.
On peut donc choisir V 2 =
0
1
6
.
En notant P =
1 0
1
3 1
5
9 6 25
et T =
3 1 0
0 3 0
0 0 5
, on a donc
P −1 =
1
4
−5
6 −1
−30 16 −2
9 −6
1
et A = PT P −1 .
Une récurrence immédiate montre : ∀n ∈ N, T n =
3 n n3 n−1 0
0
3 n
0
0
0
5 n
.
D'où, pour tout n de N : X n = PT n P −1 X 0 =
−4n3 n−1 + 5 n
−4(n + 1)3 n + 5 n+1
−4(n + 2)3 n+1 + 5 n+2
.
Finalement : ∀n ∈ N, u n = −4n3 n−1 + 5 n .
L'étude des systèmes différentiels linéaires du 1 er ordre à coefficients constants est faite dans
Analyse PC-PSI-PT, § 8.3.6.
On peut vérifier :
A = PT P −1 .
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Après calcul du produit de quatre
matrices.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
On peut contrôler les valeurs de u 0 ,
u 1 , u 2 .
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Exercices 3.6.4, 3.6.5.
3.6.4 Soient u 0 > 0, u 1 > 0 et (u n ) n∈N définie par :
∀n ∈ N, u n+2 =
2
1
u n+1
+
1
u n
.
Calculer u n , puis lim
n∞
u n .
3.6.5 Soit (u n ) n∈N définie par :
u 0 = 1, u 1 = 2
∀n ∈ N ∗ ,
u 2n+1 = u 2n + u 2n−1
u 2n = u 2n−1 + 2u 2n−2
.
Calculer u n en fonction de n.
Exercices
P 3.1 Rayon spectral
Ce problème P 3.1 étudie le rayon spectral d’une matrice carrée, son lien avec
des normes sous-multiplicatives,et le comportement de la suite (A k ) k∈N pour
A ∈ M n (C) donnée.
Soit n ∈ N ∗ . Pour A ∈ M n (C), on note
ρ(A) = Max
λ∈Sp C (A)
|λ| , appelé rayon spectral de A.
1) Propriétés élémentaires de ρ
a) Montrer, pour tous α de C , k de N ∗ , A,B de M n (C) et
P de GL n (C) :
α) ρ(α A) = |α|ρ(A)
β) ρ(A k ) =
ρ(A)
k
γ ) ρ(AB) = ρ(B A)
Problèmes
126
On a : AV 2 = 3V 2 + V 1 ⇐⇒
y = 3x + 1
z = 9x + 6
.
On peut donc choisir V 2 =
0
1
6
.
En notant P =
1 0
1
3 1
5
9 6 25
et T =
3 1 0
0 3 0
0 0 5
, on a donc
P −1 =
1
4
−5
6 −1
−30 16 −2
9 −6
1
et A = PT P −1 .
Une récurrence immédiate montre : ∀n ∈ N, T n =
3 n n3 n−1 0
0
3 n
0
0
0
5 n
.
D'où, pour tout n de N : X n = PT n P −1 X 0 =
−4n3 n−1 + 5 n
−4(n + 1)3 n + 5 n+1
−4(n + 2)3 n+1 + 5 n+2
.
Finalement : ∀n ∈ N, u n = −4n3 n−1 + 5 n .
L'étude des systèmes différentiels linéaires du 1 er ordre à coefficients constants est faite dans
Analyse PC-PSI-PT, § 8.3.6.
On peut vérifier :
A = PT P −1 .
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
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Gé
ométrie Monier
Après calcul du produit de quatre
matrices.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
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Gé
ométrie Monier
On peut contrôler les valeurs de u 0 ,
u 1 , u 2 .
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
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Gé
ométrie Monier
Exercices 3.6.4, 3.6.5.
3.6.4 Soient u 0 > 0, u 1 > 0 et (u n ) n∈N définie par :
∀n ∈ N, u n+2 =
2
1
u n+1
+
1
u n
.
Calculer u n , puis lim
n∞
u n .
3.6.5 Soit (u n ) n∈N définie par :
u 0 = 1, u 1 = 2
∀n ∈ N ∗ ,
u 2n+1 = u 2n + u 2n−1
u 2n = u 2n−1 + 2u 2n−2
.
Calculer u n en fonction de n.
Exercices
P 3.1 Rayon spectral
Ce problème P 3.1 étudie le rayon spectral d’une matrice carrée, son lien avec
des normes sous-multiplicatives,et le comportement de la suite (A k ) k∈N pour
A ∈ M n (C) donnée.
Soit n ∈ N ∗ . Pour A ∈ M n (C), on note
ρ(A) = Max
λ∈Sp C (A)
|λ| , appelé rayon spectral de A.
1) Propriétés élémentaires de ρ
a) Montrer, pour tous α de C , k de N ∗ , A,B de M n (C) et
P de GL n (C) :
α) ρ(α A) = |α|ρ(A)
β) ρ(A k ) =
ρ(A)
k
γ ) ρ(AB) = ρ(B A)
Problèmes