3.6 • Applications de la diagonalisation
125
Il s'agit de calculer u n en fonction de n pour tout n de N. Cette équation a été résolue
dans le cas particulier K = R ou C et p = 2, dans Analyse PCSI-PTSI, 3.4.2.
Notons
et, pour tout n de N :
X n =
u n
u n+1
. . .
u n+ p−1
.
On a, pour tout n de N :
A =
0
1
0
0
0
1
a 0 . . . a p−2 a p−1
∈ M p ( K ) ,
X n+1 =
u n+1
u n+2
. . .
u n+ p
=
0
1
0
0
0
1
a 0 . . . a p−2 a p−1
u n
u n+1
. . .
u n+ p−1
= AX n .
χ A (λ) =
−λ 1
0
0 −λ
1
a 0 . . . a p−2 a p−1 − λ
= ( −1) p ( λ p − a p−1 λ p−1 − . . . − a 0 ) ,
Ainsi, le calcul de u n se ramène à celui des puissances de A.
D'ailleurs, en notant u j,n = u n+ j pour j ∈ {0,. . . ,p − 1} et n ∈ N , on peut aussi se
ramener au § 3.6.2 p. 123.
Remarquons :
Exemple :
Calculer u n pour tout n de N sachant :
u 0 = 1, u 1 = 1, u 2 = 1
∀n ∈ N, u n+3 = 45u n − 39u n+1 + 11u n+2
.
Notons A =
0
1
0
0
0
1
45 −39 11
et formons le polynôme caractéristique :
χ A (λ) =
−λ
1
0
0
−λ
1
45 −39 11 − λ
= −λ 3 + 11λ 2 − 39λ + 45 = −(λ − 3) 2 (λ − 5).
Donc χ A est scindé sur R et les vp de A sont 3 (double) et 5 (simple).
On calcule les SEP et on obtient :
SEP(A,3) = Vect (V 1 ), où V 1 =
1
3
9
SEP(A,5) = Vect (V 3 ), où V 3 =
1
5
25
.
Puisque 3 est vp double et que dim
SEP(A,3)
= 1 , A n'est pas diagonalisable.
On va trigonaliser A. Cherchons V 2 =
x
y
z
pour que AV 2 = 3V 2 + V 1 .
Par récurrence immédiate :
∀ n ∈ N, X n = A n X 0 .
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Développement par la règle de Samus,
puis factorisation, par exemple en
remarquant que 3 est solution.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Cf. ex. 3.2.11 p. 85.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Après calculs.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
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Gé
ométrie Monier
125
Il s'agit de calculer u n en fonction de n pour tout n de N. Cette équation a été résolue
dans le cas particulier K = R ou C et p = 2, dans Analyse PCSI-PTSI, 3.4.2.
Notons
et, pour tout n de N :
X n =
u n
u n+1
. . .
u n+ p−1
.
On a, pour tout n de N :
A =
0
1
0
0
0
1
a 0 . . . a p−2 a p−1
∈ M p ( K ) ,
X n+1 =
u n+1
u n+2
. . .
u n+ p
=
0
1
0
0
0
1
a 0 . . . a p−2 a p−1
u n
u n+1
. . .
u n+ p−1
= AX n .
χ A (λ) =
−λ 1
0
0 −λ
1
a 0 . . . a p−2 a p−1 − λ
= ( −1) p ( λ p − a p−1 λ p−1 − . . . − a 0 ) ,
Ainsi, le calcul de u n se ramène à celui des puissances de A.
D'ailleurs, en notant u j,n = u n+ j pour j ∈ {0,. . . ,p − 1} et n ∈ N , on peut aussi se
ramener au § 3.6.2 p. 123.
Remarquons :
Exemple :
Calculer u n pour tout n de N sachant :
u 0 = 1, u 1 = 1, u 2 = 1
∀n ∈ N, u n+3 = 45u n − 39u n+1 + 11u n+2
.
Notons A =
0
1
0
0
0
1
45 −39 11
et formons le polynôme caractéristique :
χ A (λ) =
−λ
1
0
0
−λ
1
45 −39 11 − λ
= −λ 3 + 11λ 2 − 39λ + 45 = −(λ − 3) 2 (λ − 5).
Donc χ A est scindé sur R et les vp de A sont 3 (double) et 5 (simple).
On calcule les SEP et on obtient :
SEP(A,3) = Vect (V 1 ), où V 1 =
1
3
9
SEP(A,5) = Vect (V 3 ), où V 3 =
1
5
25
.
Puisque 3 est vp double et que dim
SEP(A,3)
= 1 , A n'est pas diagonalisable.
On va trigonaliser A. Cherchons V 2 =
x
y
z
pour que AV 2 = 3V 2 + V 1 .
Par récurrence immédiate :
∀ n ∈ N, X n = A n X 0 .
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Développement par la règle de Samus,
puis factorisation, par exemple en
remarquant que 3 est solution.
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Cf. ex. 3.2.11 p. 85.
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Après calculs.
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