Chapitre 3 • Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
124
• Réduction de A
Formons le polynôme caractéristique :
χ A (λ) =
1
2
− λ
1
4
1
4
1
3
1
3
− λ
1
3
1
4
1
4
1
2
− λ
= (1 − λ)
1
1
4
1
4
1
1
3
− λ
1
3
1
1
4
1
2
− λ
C 1 − C 1 + C 2 + C 3
= (1 − λ)
1
1
4
1
4
0
1
12
− λ
1
12
0
0
1
4
− λ
L 2 − L 2 − L 1
L 3 − L 3 − L 1
= (1 − λ)
1
12
− λ
1
4
− λ
.
Puisque A admet trois vp distinctes et que A est d'ordre 3, A est diagonalisable.
On calcule les SEP. On obtient une base (V 1 ,V 2 ,V 3 ) de − →
vp associés respectivement à
1,
1
4
,
1
12
: V 1 =
1
1
1
, V 2 =
1
0
−1
, V 3 =
3
−8
3
.
En notant P =
1
1
3
1
0 −8
1 −1
3
et D =
1 0
0
0
1
4
0
0 0
1
12
,
on a P −1 =
1
22
8
6
8
11
0 −11
1 −2
1
et A = P D P −1 .
• D'où : ∀n ∈ N, X n = A n X 0 = P D n P −1 X 0
=
1
22
1
1
3
1
0 −8
1 −1
3
1
0
0
0 4 −n
0
0
0
12 −n
8
6
8
11
0 −11
1 −2
1
0
22
22
et donc : ∀n ∈ N,
u n = 14 − 11 · 4 −n − 3 · 12 −n
v n = 14 + 8 · 12 −n
w n = 14 + 11 · 4 −n − 3 · 12 −n
.
Il est clair que (u n ) n , (v n ) n , (w n ) n convergent vers 14.
3.6.3 Suites récurrentes linéaires à coefficients
constants
Soient p ∈ N ∗ , (a 0 ,. . . ,a p−1 ) ∈ K p . On considère la suite récurrente linéaire à coefficients constants (u n ) n∈N définie par :
(u 0 ,. . . ,u p−1 ) ∈ K p
∀n ∈ N, u n+ p =
p−1
i=0
a i u n+i = a 0 u n + . . . + a p−1 u n+ p−1 .
Comme dans chaque ligne de A, la
somme est égale à 1, il est judicieux
d’effectuer C 1 ← C 1 + C 2 + C 3 .
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Puisque la 1 ère colonne du déterminant
précédent n’est formée que de 1, on
effectue des opérations sur les lignes,par
différence.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Déterminant d’une matrice triangulaire.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
On peut vérifier :
A = P D P −1 .
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
On effectue le produit de ces quatre
matrices.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
124
• Réduction de A
Formons le polynôme caractéristique :
χ A (λ) =
1
2
− λ
1
4
1
4
1
3
1
3
− λ
1
3
1
4
1
4
1
2
− λ
= (1 − λ)
1
1
4
1
4
1
1
3
− λ
1
3
1
1
4
1
2
− λ
C 1 − C 1 + C 2 + C 3
= (1 − λ)
1
1
4
1
4
0
1
12
− λ
1
12
0
0
1
4
− λ
L 2 − L 2 − L 1
L 3 − L 3 − L 1
= (1 − λ)
1
12
− λ
1
4
− λ
.
Puisque A admet trois vp distinctes et que A est d'ordre 3, A est diagonalisable.
On calcule les SEP. On obtient une base (V 1 ,V 2 ,V 3 ) de − →
vp associés respectivement à
1,
1
4
,
1
12
: V 1 =
1
1
1
, V 2 =
1
0
−1
, V 3 =
3
−8
3
.
En notant P =
1
1
3
1
0 −8
1 −1
3
et D =
1 0
0
0
1
4
0
0 0
1
12
,
on a P −1 =
1
22
8
6
8
11
0 −11
1 −2
1
et A = P D P −1 .
• D'où : ∀n ∈ N, X n = A n X 0 = P D n P −1 X 0
=
1
22
1
1
3
1
0 −8
1 −1
3
1
0
0
0 4 −n
0
0
0
12 −n
8
6
8
11
0 −11
1 −2
1
0
22
22
et donc : ∀n ∈ N,
u n = 14 − 11 · 4 −n − 3 · 12 −n
v n = 14 + 8 · 12 −n
w n = 14 + 11 · 4 −n − 3 · 12 −n
.
Il est clair que (u n ) n , (v n ) n , (w n ) n convergent vers 14.
3.6.3 Suites récurrentes linéaires à coefficients
constants
Soient p ∈ N ∗ , (a 0 ,. . . ,a p−1 ) ∈ K p . On considère la suite récurrente linéaire à coefficients constants (u n ) n∈N définie par :
(u 0 ,. . . ,u p−1 ) ∈ K p
∀n ∈ N, u n+ p =
p−1
i=0
a i u n+i = a 0 u n + . . . + a p−1 u n+ p−1 .
Comme dans chaque ligne de A, la
somme est égale à 1, il est judicieux
d’effectuer C 1 ← C 1 + C 2 + C 3 .
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Puisque la 1 ère colonne du déterminant
précédent n’est formée que de 1, on
effectue des opérations sur les lignes,par
différence.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Déterminant d’une matrice triangulaire.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
On peut vérifier :
A = P D P −1 .
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
On effectue le produit de ces quatre
matrices.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier