3.6 • Applications de la diagonalisation
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3.6.2 Suites récurrentes linéaires simultanées
du 1 er ordre à coefficients constants
Soient n ∈ N ∗ , A = (a i j ) i j ∈ M n (K ) , (α 1 ,. . . ,α n ) ∈ K n .
On considère les suites récurrentes linéaires simultanées du 1 er ordre à coefficients
constants (x 1,k ) k∈N ,. . . ,(x n,k ) k∈N définies par :
(E)

 
 
∀ j ∈ {1,. . . ,n}, x j,0 = α j
∀ j ∈ {1,. . . ,n}, ∀k ∈ N, x j,k+1 =
n
i=0
a ji x i,k .
Il s'agit de calculer les x j,k .
En notant X k =


x 1,k
. . .
x n,k

 , (E) se ramène à :

  
  
X 0 =


α 1
. . .
α n


∀k ∈ N, X k+1 = AX k
.
On a donc : ∀k ∈ N, X k = A k X 0 ,
et la détermination de X k se ramène au calcul de A k .
Exemple :
Soient (u n ) n∈N , (v n ) n∈N , (w n ) n∈N les suites réelles définies par :

        
        
u 0 = 0 v 0 = 22, w 0 = 22
∀n ∈ N,

     
     
u n+1 =
1
4
(2u n + v n + w n )
v n+1 =
1
3
(u n + v n + w n )
w n+1 =
1
4
(u n + v n + 2w n )
.
Calculer u n , v n , w n et étudier la convergence de ces trois suites.
Notons A =






1
2
1
4
1
4
1
3
1
3
1
3
1
4
1
4
1
2






et, pour n ∈ N, X n =


u n
v n
w n

 .
On a : ∀n ∈ N, X n+1 = AX n , donc : ∀n ∈ N, X n = A n X 0 .
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
3.6.1 Calculer A n :
A =




1
1
1
1
1
1 −1 −1
1 −1
1 −1
1 −1 −1
1



 ∈ M 4 (R) , n ∈ Z .
3.6.2
Soient a,b ∈ K tels que a = b, E un K-ev
de dimension finie, f ∈ L(E) diagonalisable tel que
Sp K ( f ) = {a,b} .
Montrer qu'il existe deux suites (α n ) n∈N , (β n ) n∈N dans K
telles que :
∀n ∈ N, f n = α n e + β n f ,
et calculer α n et β n .
3.6.3 Trouver une matrice B de M 3 (R) telle
que B 2 = A, où A =


11 −5
5
−5
3 −3
5 −3
3

 .
Exercices
Récurrence immédiate.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier