Chapitre 3 • Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
122
Les méthodes à retenir
Calcul des puissances d'une matrice carrée
• Pour calculer les puissances d'une matrice carrée A, on peut essayer d'utiliser une diagonalisation de A
(ex. 3.6.1). On peut aussi, dans certains exemples simples, décomposer A en A = αI n + N, où α ∈ K et N est nilpotente (ou les puissances de N sont de calcul aisé), et appliquer la formule du binôme de Newton.
• Pour l'étude de puissances entières positives ou négatives d'une matrice carrée, la formule obtenue dans le
cas où l'exposant est un entier naturel est souvent aussi valable dans le cas où l'exposant est un entier relatif négatif (ex. 3.6.1).
Conseils
Condition suffisante de diagonalisabilité.
Utilisation de :
j = j
2 et j + j
2 = −1.
Solution
• Supposons z = 0.
Alors M(z) admet trois valeurs propres deux à deux distinctes :
λ 1 =
z
3
√
2 − 1
, λ 2 =
z
3
√
2 j − 1
, λ 3 =
z
3
√
2 j 2 − 1
.
Puisque M(z) est carrée d'ordre trois et admet trois valeurs propres deux à deux distinctes, d'après le Cours, M(z) est diagonalisable dans M 3 (C).
En notant D = diag (λ 1 , λ 2 , λ 3 ), il existe P ∈ GL 3 (C) telle que : M(z) = P D P
−1
.
On a alors : ∀ n ∈ N
∗
,
M(z)
n = P D
n P
−1
, donc
M(z)
n −→
n∞
0 ⇐⇒ D
n −→
n∞
0 ⇐⇒ ∀ k ∈ {1,2,3}, λ
n
k −→
n∞
0
⇐⇒ ∀ k ∈ {1,...,3}, |λ k | < 1
⇐⇒
|z| <
3
√
2 − 1 et |z| <
3
√
2 j − 1
et |z| <
3
√
2 j
2 − 1
.
On a :
3
√
2 j − 1
2 =
3
√
2 j − 1
3
√
2 j
2 − 1
=
3
√
4 −
3
√
2(j + j
2 ) + 1 =
3
√
4 +
3
√
2 + 1.
Par conjugaison :
3
√
2 j
2 − 1
2 =
3
√
2 j − 1
2 .
Comme : 1 +
3
√
2 +
3
√
4 > 1 > (
3
√
2 − 1)
2
, on obtient :
3
√
2 j − 1
=
3
√
2 j
2 − 1
>
3
√
2 − 1
.
D'où :
M(z)
n −→
n∞
0 ⇐⇒ |z| <
3
√
2 − 1.
On remarque que cette condition contient le cas z = 0 examiné au début de
l'étude.
Finalement, l'ensemble cherché E est :
E =
z ∈ C ; |z| <
3
√
2 − 1
,
c'est-à-dire le disque ouvert de centre 0 et de rayon
3
√
2 − 1.