3.6 • Applications de la diagonalisation
121
Alors, pour tout k de N :
A
k = P D
k P
−1
=



(−2) k − 2 · 2 k + 2 · 3 k (−2) k + 3 · 2 k − 4 · 3 k
−(−2 k ) − 2 k + 2 · 3 k
(−2) k − 4 · 2 k + 3 · 3 k (−2) k + 6 · 2 k − 6 · 3 k −(−2 k ) − 2 · 2 k + 3 · 3 k
(−2) k − 6 · 2 k + 5 · 3 k (−2) k + 9 · 2 k − 10 · 3 k −(−2 k ) − 3 · 2 k + 5 · 3 k


 .
D'autre part, comme 0 ∈ Sp R (A), A est inversible ; ainsi A −1 , puis A k (k ∈ Z ∗
− ) existent.
On a : ∀k ∈ Z ∗
− ,
A
k = (A
−1 )
−k = ((P D P
−1 )
−1 )
−k = (P D
−1 P
−1 )
−k = P(D
−1 )
−k P
−1 = P D
k P
−1 .
Autrement dit, la formule A k = P D k P −1 est valable pour tout k de Z, et le résultat obtenu
plus haut pour A k aussi.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Matrice obtenue par produit de trois
matrices.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Exercices 3.6.1 à 3.6.3.
Exercice-type résolu
Exemple d'étude des puissances d'une matrice carrée d'ordre trois
On note, pour tout z ∈ C : M(z) =


0
1
0
0
0
1
z
3
3z
2
3z

 ∈ M 3 (C).
Déterminer l'ensemble E =
z ∈ C ;
M(z)
n −→
n∞
0
.
Conseils
On commence par réduire M(z),
si possible, à la forme diagonale.
Développement par la règle de Sarrus, par
exemple, valable pour un déterminant
d'ordre 2 ou 3.
Remarquer les coefficients
1 3 3 1
et penser au binôme de Newton.
Résolution de l'équation a 3 = b 3 dans les
nombres complexes.
Solution
Calculons le polynôme caractéristique de M(z) :
χ M(z) (λ) =
−λ
1
0
0
−λ
1
z
3
3z
2
3z − λ
= λ
2 (3z − λ) + z
3 + 3λz
2 = −λ
3 + 3zλ
2 + 3z
2 λ + z
3
= (λ + z)
3 − 2λ
3 .
Donc :
χ M(z) (λ) = 0 ⇐⇒ (λ + z)
3 − 2λ
3 = 0
⇐⇒ λ + z =
3
√
2 λ ou λ + z =
3
√
2 jλ ou λ + z =
3
√
2 j
2 λ.
• Si z = 0, alors M(z) = M(0) =


0 1 0
0 0 1
0 0 0

 ,
donc
M(z)
2 =


0 0 1
0 0 0
0 0 0

 ,
M(z)
3 = 0,
M(z)
n = 0 pour tout n 3, et
donc :
M(z)
n −→
n∞
0.