Chapitre 3 • Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
120
D'autre part, en notant D =
λ 1
0
. . .
0
λ n
, on a clairement :
∀k ∈ N, D k =
λ k
1
0
. . .
0
λ k
n
.
On en déduit la valeur de A k .
Exemple :
Soit A =
0
−8
6
−1
−8
7
1 −14 11
∈ M 3 (R) .
Montrer que A est inversible et calculer, pour tout k de Z, A k .
Formons le polynôme caractéristique :
χ A (λ) =
−λ
−8
6
−1 −8 − λ
7
1
−14
11 − λ
= −(λ 3 − 3λ 2 − 4λ + 12)
= −(λ − 2)(λ + 2)(λ − 3).
Puisque A ∈ M 3 (R) et que A admet trois vp distinctes (−2,2,3) , A est diagonalisable.
On calcule les SEP :
• X =
x
y
z
∈ SEP(A,−2) ⇐⇒
2x − 8y + 6z = 0
−x − 6y + 7z = 0
x − 14z + 13z = 0
⇐⇒ x = y = z .
Donc SEP(A,−2) est de dimension 1 et admet pour base (V 1 ) où V 1 =
1
1
1
.
• X =
x
y
z
∈ SEP(A,2) ⇐⇒
−2x − 8y + 6z = 0
−x − 10y + 7z = 0
x − 14y + 9z = 0
⇐⇒
y = 2x
3y = 2z
.
Donc SEP(A,2) est de dimension 1 et admet pour base (V 2 ) où V 2 =
1
2
3
.
• X =
x
y
z
∈ SEP(A,3) ⇐⇒
−3x − 8y + 6z = 0
−x − 11y + 7z = 0
x − 14y + 8z = 0
⇐⇒
5y = 3z
3x = 2y
.
Donc SEP(A,3) est de dimension 1 et admet pour base (V 3 ) où V 3 =
2
3
5
.
En notant P =
1 1 2
1 2 3
1 3 5
et D =
−2 0 0
0 2 0
0 0 3
, on a P −1 =
1
1 −1
−2
3 −1
1 −2
1
et A = P D P −1 .
Après développement.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
On peut vérifier :
A = P D P −1 .
Monie r Algèbre Monier
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120
D'autre part, en notant D =
λ 1
0
. . .
0
λ n
, on a clairement :
∀k ∈ N, D k =
λ k
1
0
. . .
0
λ k
n
.
On en déduit la valeur de A k .
Exemple :
Soit A =
0
−8
6
−1
−8
7
1 −14 11
∈ M 3 (R) .
Montrer que A est inversible et calculer, pour tout k de Z, A k .
Formons le polynôme caractéristique :
χ A (λ) =
−λ
−8
6
−1 −8 − λ
7
1
−14
11 − λ
= −(λ 3 − 3λ 2 − 4λ + 12)
= −(λ − 2)(λ + 2)(λ − 3).
Puisque A ∈ M 3 (R) et que A admet trois vp distinctes (−2,2,3) , A est diagonalisable.
On calcule les SEP :
• X =
x
y
z
∈ SEP(A,−2) ⇐⇒
2x − 8y + 6z = 0
−x − 6y + 7z = 0
x − 14z + 13z = 0
⇐⇒ x = y = z .
Donc SEP(A,−2) est de dimension 1 et admet pour base (V 1 ) où V 1 =
1
1
1
.
• X =
x
y
z
∈ SEP(A,2) ⇐⇒
−2x − 8y + 6z = 0
−x − 10y + 7z = 0
x − 14y + 9z = 0
⇐⇒
y = 2x
3y = 2z
.
Donc SEP(A,2) est de dimension 1 et admet pour base (V 2 ) où V 2 =
1
2
3
.
• X =
x
y
z
∈ SEP(A,3) ⇐⇒
−3x − 8y + 6z = 0
−x − 11y + 7z = 0
x − 14y + 8z = 0
⇐⇒
5y = 3z
3x = 2y
.
Donc SEP(A,3) est de dimension 1 et admet pour base (V 3 ) où V 3 =
2
3
5
.
En notant P =
1 1 2
1 2 3
1 3 5
et D =
−2 0 0
0 2 0
0 0 3
, on a P −1 =
1
1 −1
−2
3 −1
1 −2
1
et A = P D P −1 .
Après développement.
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On peut vérifier :
A = P D P −1 .
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