3.6 • Applications de la diagonalisation
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Preuve
Soit I un idéal de K [X].
Si I = {0}, alors I = 0K [X].
Supposons I = {0}. L'ensemble {deg(P); P ∈ I − {0}} est une partie non vide de N, donc admet un
plus petit élément, noté n 0 , et il existe P 0 ∈ I − {0} tel que deg(P 0 ) = n 0 .
Nous allons montrer : I = P 0 K [X].
1) Puisque P 0 ∈ I et que I est un idéal de K [X], on a : ∀ A ∈ K [X], P 0 A ∈ I ,
c'est-à-dire : P 0 K [X] ⊂ I .
2) Réciproquement, soit P ∈ I. Par division euclidienne de P par P 0 , il existe (Q,R) ∈ (K [X]) 2 tel
que : P = P 0 Q + R et deg(R) < deg(P 0 ) .
Comme R = P − P 0 Q , que P,P 0 sont dans I , et que I est un idéal de K [X], on déduit : R ∈ I .
Puis, par définition de P 0 , comme deg(R) < deg(P 0 ) , on obtient R = 0 , d'où :
P = P 0 Q ∈ P 0 K [X].
᭿
Proposition
Soient E un K-ev, f ∈ L(E). L'ensemble
P ∈ K [X] ; P( f ) = 0
, c'est-à-dire l'ensemble des polynômes annulateurs de f, est un idéal de K [X].
Preuve
Notons I =
P ∈ K [X] ; P( f ) = 0
.
• I = ∅, car 0 ∈ I.
• Soient P,Q ∈ I. On a :
(P + Q)( f ) = P( f ) + Q( f ) = 0 + 0 = 0,
donc P + Q ∈ I.
• Soient A ∈ K [X], P ∈ I. On a :
(AP)( f ) = A( f ) ◦ P( f ) = A( f ) ◦ 0 = 0,
donc AP ∈ I.
On conclut que I est un idéal de K [X].
᭿
3.6 Applications de la diagonalisation
3.6.1 Calcul des puissances d'une matrice carrée
Soit A ∈ M n (K ).
Supposons A diagonalisable ; il existe P ∈ GL n (K ) , D ∈ D n (K ) telles que :
A = P D P −1 .
Montrons, par récurrence : ∀k ∈ N, A k = P D k P −1 .
La propriété est triviale pour k = 0 (car A
0
= D
0
= I n ) et vraie pour k = 1.
Si elle est vraie pour un k de N, alors :
A
k+1
= A
k A = (P D
k P
−1
)(P D P
−1
) = P(D
k D)P
−1
= P D
k+1 P
−1
.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Utilisation d’une division euclidienne.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier