Chapitre 3 • Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
118
3.5.4 Idéaux de K [X] (PSI)
Définition
On appelle idéal de K [X] toute partie I de K [X] telle que :
• I = ∅
• ∀ (P,Q) ∈ I
2
, P + Q ∈ I
• ∀ A ∈ K [X], ∀ P ∈ I, AP ∈ I.
Remarques :
1) Si I est un idéal de K [X], alors en particulier :
I = ∅
∀ (P,Q) ∈ I
2 , P + Q ∈ I ,
∀ P ∈ I, −P ∈ I
et donc I est un sous-groupe de (K [X],+) .
2) Soient P 0 ∈ K [X] et P 0 K [X] l'ensemble des multiples de P 0 dans K [X], c'est-àdire :
P 0 K [X] = {P 0 A; A ∈ K [X]}.
Il est clair que P 0 K [X] est un idéal de K [X].
Théorème 1
Pour tout idéal I de K [X], il existe P 0 ∈ K [X] tel que :
I = P 0 K [X] = {P ∈ K [X]; ∃ A ∈ K [X], P = P 0 A}.
Les exercices 3.5.16 et 3.5.17 n'utilisent pas le théorème de
Cayley et Hamilton.
3.5.16 Soient N ∈ N ∗ , n 1 ,. . . ,n N ∈ N ∗ ,
A i ∈ M n i (K ) (1 i N ), P ∈ K [X],
A =
A 1
0
. . .
0
A N
.
Montrer : P(A) =
P(A 1 )
0
. . .
0
P(A N )
.
3.5.17 Soient n ∈ N ∗ , A ∈ GL n (K ). Montrer :
∃P ∈ K [X], A −1 = P(A).
3.5.18 Soient n,N ∈ N ∗ ,
A 1 ,. . . ,A N ∈ M n (C) , P 1 ,. . . ,P N ∈ C[X].
On suppose que A 1 ,. . . ,A N n'ont, deux à deux, aucune
valeur propre commune. Montrer qu'il existe P ∈ C[X] tel
que :
∀i ∈ {1,. . . ,N }, P(A i ) = P i (A i ).
3.5.19 Une démonstration du théorème de Cayley et
Hamilton (lorsque K = C)
Soient n ∈ N ∗ , E l'ensemble des matrices diagonalisables
de M n (C).
a) Montrer : ∀A ∈ E, χ A (A) = 0.
b) En admettant que E est dense dans M n (C), en déduire
le théorème de Cayley et Hamilton (pour K = C) :
∀A ∈ M n (C), χ A (A) = 0.
3.5.20 Soient n ∈ N ∗ , A,B ∈ M n (C) telles que
Sp C (A) ∩ Sp C (B) = ∅.
a) Montrer : χ A (B) ∈ GL n (C).
b) Etablir : ∀X ∈ M n (C), (AX = X B ⇒ X = 0).
c) En déduire :
∀C ∈ M n (C) , ∃!X ∈ M n (C) , AX − X B = C.
Cf. aussi ex. 3.4.15 p. 106.
Exercices
On exprime ce résultat par :tout idéal de
K [X] est principal,ou encore : K [X]
est un anneau principal.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
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3.5.4 Idéaux de K [X] (PSI)
Définition
On appelle idéal de K [X] toute partie I de K [X] telle que :
• I = ∅
• ∀ (P,Q) ∈ I
2
, P + Q ∈ I
• ∀ A ∈ K [X], ∀ P ∈ I, AP ∈ I.
Remarques :
1) Si I est un idéal de K [X], alors en particulier :
I = ∅
∀ (P,Q) ∈ I
2 , P + Q ∈ I ,
∀ P ∈ I, −P ∈ I
et donc I est un sous-groupe de (K [X],+) .
2) Soient P 0 ∈ K [X] et P 0 K [X] l'ensemble des multiples de P 0 dans K [X], c'est-àdire :
P 0 K [X] = {P 0 A; A ∈ K [X]}.
Il est clair que P 0 K [X] est un idéal de K [X].
Théorème 1
Pour tout idéal I de K [X], il existe P 0 ∈ K [X] tel que :
I = P 0 K [X] = {P ∈ K [X]; ∃ A ∈ K [X], P = P 0 A}.
Les exercices 3.5.16 et 3.5.17 n'utilisent pas le théorème de
Cayley et Hamilton.
3.5.16 Soient N ∈ N ∗ , n 1 ,. . . ,n N ∈ N ∗ ,
A i ∈ M n i (K ) (1 i N ), P ∈ K [X],
A =
A 1
0
. . .
0
A N
.
Montrer : P(A) =
P(A 1 )
0
. . .
0
P(A N )
.
3.5.17 Soient n ∈ N ∗ , A ∈ GL n (K ). Montrer :
∃P ∈ K [X], A −1 = P(A).
3.5.18 Soient n,N ∈ N ∗ ,
A 1 ,. . . ,A N ∈ M n (C) , P 1 ,. . . ,P N ∈ C[X].
On suppose que A 1 ,. . . ,A N n'ont, deux à deux, aucune
valeur propre commune. Montrer qu'il existe P ∈ C[X] tel
que :
∀i ∈ {1,. . . ,N }, P(A i ) = P i (A i ).
3.5.19 Une démonstration du théorème de Cayley et
Hamilton (lorsque K = C)
Soient n ∈ N ∗ , E l'ensemble des matrices diagonalisables
de M n (C).
a) Montrer : ∀A ∈ E, χ A (A) = 0.
b) En admettant que E est dense dans M n (C), en déduire
le théorème de Cayley et Hamilton (pour K = C) :
∀A ∈ M n (C), χ A (A) = 0.
3.5.20 Soient n ∈ N ∗ , A,B ∈ M n (C) telles que
Sp C (A) ∩ Sp C (B) = ∅.
a) Montrer : χ A (B) ∈ GL n (C).
b) Etablir : ∀X ∈ M n (C), (AX = X B ⇒ X = 0).
c) En déduire :
∀C ∈ M n (C) , ∃!X ∈ M n (C) , AX − X B = C.
Cf. aussi ex. 3.4.15 p. 106.
Exercices
On exprime ce résultat par :tout idéal de
K [X] est principal,ou encore : K [X]
est un anneau principal.
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