3.5 • Polynômes d’endomorphismes, polynômes de matrices carrées
117
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Exercice-type résolu
Un exemple d'utilisation du théorème de Cayley et Hamilton
Soient E un K-ev de dimension finie, f ∈ L(E), r = rg ( f ). Montrer qu'il existe P ∈ K [X] tel que :
P( f ) = 0 et deg(P) = r + 1.
Conseils
Recherche d'une base de E dans laquelle f
soit représenté par une matrice assez
simple.
Les images par f des n − r premiers
vecteurs de B sont toutes nulles, puisque
ces vecteurs sont dans Ker ( f ).
Pour conjecturer la forme de A k , on peut
d'abord calculer A 2 :
A
2 =
0 U
0 V
0 U
0 V
=
0 U V
0 V 2
.
Combinaison linéaire par blocs.
Solution
Notons n = dim (E).
1) D'après le théorème du rang : dim Ker ( f ) = n − r.
Le sev Ker ( f ) de E admet au moins une base (e 1 ,...,e n−r ). D'après le théorème de
la base incomplète, la famille libre (e 1 ,...,e n−r ) peut être complétée d'au moins une
façon en une base B = (e 1 ,...,e n ) de E.
La matrice A de f dans B est de la forme : A =
0 U
0 V
,
où U ∈ M n−r,r (K ), V ∈ M r (K ).
2) Montrons, par récurrence sur k :
∀ k ∈ N
∗ , A
k =
0 U V
k−1
0
V
k
.
La formule est vraie pour k = 1 , car V
0
= I r .
Si la formule est vraie pour un k ∈ N
∗ , alors :
A
k+1 = A
k A =
0 U V
k−1
0
V
k
0 U
0 V
=
0 U V
k
0 V
k+1
,
donc la formule est vraie pour k + 1.
Ceci établit la formule voulue, pour tout k ∈ N
∗
, par récurrence sur k.
3) On a alors, pour tout polynôme Q =
N
k=0
a k X
k ∈ K [X] :
AQ(A) =
N
k=0
a k A
k+1 =
N
k=0
a k
0 U V
k
0 V
k+1
=





0
N
k=0
a k U V
k
0
N
k=0
a k V
k+1





=
0 U Q(V )
0 V Q(V )
.
4) D'après le théorème de Cayley et Hamilton, χ V (V ) = 0.
En notant P = X χ V , on a alors deg (P) = 1 + deg (χ V ) = r + 1 et :
P(A) = Aχ V (A) =
0 U χ V (V )
0 V χ V (V )
=
0 0
0 0
,
donc P convient.