D'où : (χ g x ( f ))(x) = (−1) p x ( f p x (x) − a p x −1 f p x −1 (x) − . . . − a 0 x) = 0 .
D'autre part (cf. exercice 3.2.1 p. 85) : χ g x |χ f . Il existe donc Q x ∈ K [X] tel que χ f = Q x χ g x . On a
alors : χ f ( f ) = Q x ( f ) ◦ χ g x ( f ), puis :
(χ f ( f ))(x) = Q x ( f )
(χ g x ( f ))(x)
= Q x ( f )(0) = 0.
Ceci prouve : ∀x ∈ E, (χ f ( f ))(x) = 0 , c'est-à-dire : χ f ( f ) = 0.
Chapitre 3 • Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
116
3.5.3 Théorème de Cayley et Hamilton
Dans ce § 3.5.3, E est supposé de dimension finie n, n 1 .
Théorème
Théorème de Cayley et Hamilton
1) ∀ f ∈ L(E), χ f ( f ) = 0
2) ∀A ∈ M n (K ) , χ A (A) = 0.
Preuve
Il est clair que 2) est la traduction matricielle de 1).
Soit x ∈ E − {0}. La famille ( f k (x)) 0kn , ayant n + 1 éléments, est liée. Il existe donc un plus grand
entier p x dans N ∗ tel que (x, f (x),. . . , f p x −1 (x)) soit libre. Comme (x, f (x),. . . , f p x (x)) est liée, il
existe (a 0 ,. . . ,a p x −1 ) ∈ K p x tel que :
f
p x (x) =
p x −1
k=0
a k f
k (x) .
Notons E f (x) = Vect(x, f (x),. . . , f p x −1 (x)) .
Puisque f p x (x) se décompose linéairement sur x, f (x),. . . , f p x −1 (x), il est clair que E f (x) est stable
par f.
Notons g x l'endomorphisme induit par f sur E f (x).
La matrice B de g x dans la base (x, f (x),. . . , f p x −1 (x)) de E f (x) est :
On a, pour tout λ de K :
3.5.14 Soient n ∈ N ∗ , A ∈ GL n (C) diagonalisable,
p ∈ N ∗ , B ∈ M n (C) telle que B p = A . Montrer que A
et B sont simultanément diagonalisables, c'est-à-dire
∃P ∈ GL n (C),
P
−1 AP ∈ D n (C) et P
−1 B P ∈ D n (C)
.
3.5.15 Soient n ∈ N ∗ , G un sous-groupe fini abélien de
GL n (C) . Montrer que les éléments de G sont simultanément diagonalisables, c'est-à-dire :
∃P ∈ GL n (C), ∀A ∈ G, P
−1 AP ∈ D n (C).
(Utiliser l'exercice 3.5.12).
χ g x (λ) =
−λ
0
a 0
1
. . .
−λ
a p x −2
0 1 a p x − 1 − λ
= (−1)
p x
λ
p x − a p x −1 λ
p x −1 − . . . − a 1 λ − a 0
.
B =
0
0
a 0
1
. . .
0
. . .
0 1 a p x − 1
.
Autrement dit : le polynôme caractéristique de f (resp. A) annule f
(resp. A).
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Cette preuve n’est pas exigible.
L’entier p x dépend de x.
Cf. exercice 3.2.11 p. 85.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Exercices 3.5.16 à 3.5.20.
D'autre part (cf. exercice 3.2.1 p. 85) : χ g x |χ f . Il existe donc Q x ∈ K [X] tel que χ f = Q x χ g x . On a
alors : χ f ( f ) = Q x ( f ) ◦ χ g x ( f ), puis :
(χ f ( f ))(x) = Q x ( f )
(χ g x ( f ))(x)
= Q x ( f )(0) = 0.
Ceci prouve : ∀x ∈ E, (χ f ( f ))(x) = 0 , c'est-à-dire : χ f ( f ) = 0.
Chapitre 3 • Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
116
3.5.3 Théorème de Cayley et Hamilton
Dans ce § 3.5.3, E est supposé de dimension finie n, n 1 .
Théorème
Théorème de Cayley et Hamilton
1) ∀ f ∈ L(E), χ f ( f ) = 0
2) ∀A ∈ M n (K ) , χ A (A) = 0.
Preuve
Il est clair que 2) est la traduction matricielle de 1).
Soit x ∈ E − {0}. La famille ( f k (x)) 0kn , ayant n + 1 éléments, est liée. Il existe donc un plus grand
entier p x dans N ∗ tel que (x, f (x),. . . , f p x −1 (x)) soit libre. Comme (x, f (x),. . . , f p x (x)) est liée, il
existe (a 0 ,. . . ,a p x −1 ) ∈ K p x tel que :
f
p x (x) =
p x −1
k=0
a k f
k (x) .
Notons E f (x) = Vect(x, f (x),. . . , f p x −1 (x)) .
Puisque f p x (x) se décompose linéairement sur x, f (x),. . . , f p x −1 (x), il est clair que E f (x) est stable
par f.
Notons g x l'endomorphisme induit par f sur E f (x).
La matrice B de g x dans la base (x, f (x),. . . , f p x −1 (x)) de E f (x) est :
On a, pour tout λ de K :
3.5.14 Soient n ∈ N ∗ , A ∈ GL n (C) diagonalisable,
p ∈ N ∗ , B ∈ M n (C) telle que B p = A . Montrer que A
et B sont simultanément diagonalisables, c'est-à-dire
∃P ∈ GL n (C),
P
−1 AP ∈ D n (C) et P
−1 B P ∈ D n (C)
.
3.5.15 Soient n ∈ N ∗ , G un sous-groupe fini abélien de
GL n (C) . Montrer que les éléments de G sont simultanément diagonalisables, c'est-à-dire :
∃P ∈ GL n (C), ∀A ∈ G, P
−1 AP ∈ D n (C).
(Utiliser l'exercice 3.5.12).
χ g x (λ) =
−λ
0
a 0
1
. . .
−λ
a p x −2
0 1 a p x − 1 − λ
= (−1)
p x
λ
p x − a p x −1 λ
p x −1 − . . . − a 1 λ − a 0
.
B =
0
0
a 0
1
. . .
0
. . .
0 1 a p x − 1
.
Autrement dit : le polynôme caractéristique de f (resp. A) annule f
(resp. A).
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Géométrie
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Gé
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Cette preuve n’est pas exigible.
L’entier p x dépend de x.
Cf. exercice 3.2.11 p. 85.
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Gé
ométrie Monier
Exercices 3.5.16 à 3.5.20.