3.5 • Polynômes d’endomorphismes, polynômes de matrices carrées
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© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
3.5.1 Soient E un K-ev, f ∈ L(E) , λ ∈ Sp K ( f ),
P ∈ K [X].
Montrer :
P(λ) ∈ Sp K
P( f )
SEP
P( f ),P(λ)
⊃ SEP( f,λ).
3.5.2 Soient E le R -ev R N , f :
E −→ E
(x n ) n∈N −→ (x n+1 ) n∈N
.
Vérifier f ∈ L(E) et montrer que le seul polynôme annulateur de f est le polynôme nul.
3.5.3 Soient A ∈ M 3 (R) telle que : A 3 + A = 0 et
A = 0 . Montrer : A ∼
0
0 0
0
0 1
0 −1 0
.
3.5.4 Soient n ∈ N ∗ , f : M n (R) −→ M n (R)
A −→ t A
.
Vérifier que f est linéaire.
Déterminer les éléments propres de f ; f est-il diagonalisable ?
3.5.5 Soient n ∈ N ∗ , A ∈ M n (R) telle que A 3 = A + I n .
Montrer :
det(A) > 0.
3.5.6 Soient n ∈ N ∗ , A ∈ M n (C) telle que
A 4 = 7A 3 − 12A 2 .
Montrer :
tr(A) ∈ N et tr(A) 4n .
3.5.7 Soient n ∈ N ∗ , A ∈ M n (R) telle que
A 3 = A 2 et tr(A) = n.
Montrer : A = I n .
3.5.8 Soient N ∈ N ∗ , n 1 ,. . . ,n N ∈ N ∗ , A i ∈ M n i (K )
(1 i N ).
Montrer que
A 1
0
. . .
0
A N
est diagonalisable si et
seulement si A 1 ,. . . ,A N sont diagonalisables.
3.5.9 Soient N ∈ N ∗ , n 1 ,. . . ,n N ∈ N ∗ ,
n =
N
k=1
n k , λ 1 ,. . . ,λ N ∈ K,
T k =
λ k . . .
. . .
0
λ k
∈ T n k ,s (K ) (1 k N ),
T =
T 1
0
. . .
0
T N
∈ T n,s (K ) .
Montrer que T est diagonalisable si et seulement si :
∀k ∈ {1,. . . ,N }, T k = λ k I n k .
(Utiliser l'exercice 3.5.8).
3.5.10 Soient E un K-ev de dimension finie, f ∈ L(E)
diagonalisable, F un sev de E stable par f, f l'endomorphisme induit par f sur F . Montrer que f est diagonalisable.
3.5.11 a) Soient E un K-ev de dimension finie, f ∈ L(E)
diagonalisable, λ 1 ,. . . ,λ p les vp de f deux à deux
distinctes, N i = Ker( f − λ i Id E )(1 i p), F un sev
de E .
Montrer que F est stable par f si et seulement s'il existe
des sev N
1 ,. . . ,N
p de E tels que :
∀i ∈ {1,. . . , p}, N
i ⊂ N i
F =
p
i=1
N
i
.
(Utiliser l'exercice 3.5.10).
En particulier, si les vp de f sont toutes simples, il y a exactement 2 n sev de E stables par f.
b) Exemple : Trouver tous les sev de R 3 stables par l'endomorphisme f dont la matrice dans la base canonique
est :
A =
1 1 −1
1 1
1
1 1
1
.
3.5.12 Diagonalisation simultanée
Soient n ∈ N ∗ , E un K-ev de dimension finie n, I un
ensemble non vide, ( f i ) i∈I une famille d'endomorphismes
diagonalisables de E et commutant deux à deux, c'est-àdire :
∀(i, j) ∈ I 2 , f i ◦ f j = f j ◦ f i .
Démontrer qu'il existe une base de E dans laquelle les
matrices des f i sont toutes diagonales (on dit que les f i sont
simultanément diagonalisables). (On pourra faire une
récurrence sur n).
En particulier, si deux matrices diagonalisables commutent, alors elles sont simultanément diagonalisables.
3.5.13 Soient E un K-ev de dimension finie 1,
f ∈ L(E) tel qu'il existe λ 1 ,. . . ,λ p ∈ K deux à deux distincts tels que :
( f − λ 1 e) ◦ . . . ◦ ( f − λ p e) = 0 (où e = Id E ).
Montrer qu'il existe v 1 ,. . . ,v p ∈ L(E) tels que :
∀P ∈ K [X], P( f ) =
p
k=1
P(λ k )v k .
Exercices
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© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
3.5.1 Soient E un K-ev, f ∈ L(E) , λ ∈ Sp K ( f ),
P ∈ K [X].
Montrer :
P(λ) ∈ Sp K
P( f )
SEP
P( f ),P(λ)
⊃ SEP( f,λ).
3.5.2 Soient E le R -ev R N , f :
E −→ E
(x n ) n∈N −→ (x n+1 ) n∈N
.
Vérifier f ∈ L(E) et montrer que le seul polynôme annulateur de f est le polynôme nul.
3.5.3 Soient A ∈ M 3 (R) telle que : A 3 + A = 0 et
A = 0 . Montrer : A ∼
0
0 0
0
0 1
0 −1 0
.
3.5.4 Soient n ∈ N ∗ , f : M n (R) −→ M n (R)
A −→ t A
.
Vérifier que f est linéaire.
Déterminer les éléments propres de f ; f est-il diagonalisable ?
3.5.5 Soient n ∈ N ∗ , A ∈ M n (R) telle que A 3 = A + I n .
Montrer :
det(A) > 0.
3.5.6 Soient n ∈ N ∗ , A ∈ M n (C) telle que
A 4 = 7A 3 − 12A 2 .
Montrer :
tr(A) ∈ N et tr(A) 4n .
3.5.7 Soient n ∈ N ∗ , A ∈ M n (R) telle que
A 3 = A 2 et tr(A) = n.
Montrer : A = I n .
3.5.8 Soient N ∈ N ∗ , n 1 ,. . . ,n N ∈ N ∗ , A i ∈ M n i (K )
(1 i N ).
Montrer que
A 1
0
. . .
0
A N
est diagonalisable si et
seulement si A 1 ,. . . ,A N sont diagonalisables.
3.5.9 Soient N ∈ N ∗ , n 1 ,. . . ,n N ∈ N ∗ ,
n =
N
k=1
n k , λ 1 ,. . . ,λ N ∈ K,
T k =
λ k . . .
. . .
0
λ k
∈ T n k ,s (K ) (1 k N ),
T =
T 1
0
. . .
0
T N
∈ T n,s (K ) .
Montrer que T est diagonalisable si et seulement si :
∀k ∈ {1,. . . ,N }, T k = λ k I n k .
(Utiliser l'exercice 3.5.8).
3.5.10 Soient E un K-ev de dimension finie, f ∈ L(E)
diagonalisable, F un sev de E stable par f, f l'endomorphisme induit par f sur F . Montrer que f est diagonalisable.
3.5.11 a) Soient E un K-ev de dimension finie, f ∈ L(E)
diagonalisable, λ 1 ,. . . ,λ p les vp de f deux à deux
distinctes, N i = Ker( f − λ i Id E )(1 i p), F un sev
de E .
Montrer que F est stable par f si et seulement s'il existe
des sev N
1 ,. . . ,N
p de E tels que :
∀i ∈ {1,. . . , p}, N
i ⊂ N i
F =
p
i=1
N
i
.
(Utiliser l'exercice 3.5.10).
En particulier, si les vp de f sont toutes simples, il y a exactement 2 n sev de E stables par f.
b) Exemple : Trouver tous les sev de R 3 stables par l'endomorphisme f dont la matrice dans la base canonique
est :
A =
1 1 −1
1 1
1
1 1
1
.
3.5.12 Diagonalisation simultanée
Soient n ∈ N ∗ , E un K-ev de dimension finie n, I un
ensemble non vide, ( f i ) i∈I une famille d'endomorphismes
diagonalisables de E et commutant deux à deux, c'est-àdire :
∀(i, j) ∈ I 2 , f i ◦ f j = f j ◦ f i .
Démontrer qu'il existe une base de E dans laquelle les
matrices des f i sont toutes diagonales (on dit que les f i sont
simultanément diagonalisables). (On pourra faire une
récurrence sur n).
En particulier, si deux matrices diagonalisables commutent, alors elles sont simultanément diagonalisables.
3.5.13 Soient E un K-ev de dimension finie 1,
f ∈ L(E) tel qu'il existe λ 1 ,. . . ,λ p ∈ K deux à deux distincts tels que :
( f − λ 1 e) ◦ . . . ◦ ( f − λ p e) = 0 (où e = Id E ).
Montrer qu'il existe v 1 ,. . . ,v p ∈ L(E) tels que :
∀P ∈ K [X], P( f ) =
p
k=1
P(λ k )v k .
Exercices