Chapitre 3 • Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
114
Conseils
Le cas p = 0 (resp. q = 0 ) correspond au
cas où α (resp. β) n'est pas zéro de χ A . Les
ordres de multiplicité de β et β dans χ A
sont égaux, car χ A ∈ R[X ].
Avec les notations habituelles :
σ 3 = −
a 3
a 0
.
Il est clair que α = 0, puisque α < −
2
3
.
Solution
Puisque le polynôme caractéristique de A est à coefficients réels, il existe p,q ∈ N
tels que :
χ A (λ) = (−1)
n (X − α)
p (X − β)
q (X − β)
q .
Ainsi, A est semblable, dans M n (C) , à la matrice diagonale :
D = diag
α,...,α
p fois
,β,...,β
q fois
,β,...,β
q fois
).
On a : n = deg (χ A ) = p + 2q, et :
det (A)
=
det (D)
=
α
p β
q β
q
= |α|
p |ββ|
q .
D'après les relations entre coefficients et racines, on a : αββ = −1,
donc ββ = −
1
α
. D'où :
det (A)
= α
p
1
α
q
= |α|
p−q .
On a :
p − q n, car p n et q 0,
p − q −
n
2
, car p 0 et 2q n.
D'autre part : P(−1,5) = −0,125 < 0 et P(−1,4) = 0,210 > 0,
donc : −1,5 α −1,4, puis 1,4 < |α| < 1,5.
On conclut :
|det (A)| 1,5
n
|det (A)| 1,4
− n
2 =
1
1,4
n
2 0,8
n .
Les méthodes à retenir
Polynômes d'endomorphismes, polynômes de matrices carrées
• Pour manipuler des polynômes d'endomorphismes ou des polynômes de matrices carrées, il est important
d'avoir assimilé les notations, et de les utiliser correctement.
Si f ∈ L(E) et P =
N
k=0
a k X
k
∈ R[X] , alors P( f ) =
N
k=0
a k f
k , où f
0
= Id E , et pour tout x ∈ E , on a
(P( f )) (x) =
N
k=0
a k f
k
(x). La notation (P( f )) (x) peut être allégée en P( f )(x) ; mais l'écriture P( f (x)) n'a pas
de sens.
• Pour étudier une matrice A ∈ M n (R) qui annule un polynôme P de R[X ] scindé simple sur C mais non scindé sur R, essayer d'utiliser une diagonalisation de A dans M n (C), puis de revenir aux réels (ex. 3.5.3).
• Pour montrer qu'un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie (ou une matrice) est diagonalisable, d’après le Théorème du § 3.5.2 p. 110, il (faut et il) suffit de trouver un polynôme annulateur de f (ou
de A) qui soit scindé simple sur K (ex. 3.5.4, 3.5.8, 3.5.10).
• Pour obtenir des renseignements, par exemple sur la trace d’une matrice A de M n (K ) lorsque l’on dispose d’un polynôme annulateur P de A, penser à utiliser : le spectre de Aest inclus dans l'ensemble des zéros de
P dans K (ex. 3.5.5 à 3.5.7).
114
Conseils
Le cas p = 0 (resp. q = 0 ) correspond au
cas où α (resp. β) n'est pas zéro de χ A . Les
ordres de multiplicité de β et β dans χ A
sont égaux, car χ A ∈ R[X ].
Avec les notations habituelles :
σ 3 = −
a 3
a 0
.
Il est clair que α = 0, puisque α < −
2
3
.
Solution
Puisque le polynôme caractéristique de A est à coefficients réels, il existe p,q ∈ N
tels que :
χ A (λ) = (−1)
n (X − α)
p (X − β)
q (X − β)
q .
Ainsi, A est semblable, dans M n (C) , à la matrice diagonale :
D = diag
α,...,α
p fois
,β,...,β
q fois
,β,...,β
q fois
).
On a : n = deg (χ A ) = p + 2q, et :
det (A)
=
det (D)
=
α
p β
q β
q
= |α|
p |ββ|
q .
D'après les relations entre coefficients et racines, on a : αββ = −1,
donc ββ = −
1
α
. D'où :
det (A)
= α
p
1
α
q
= |α|
p−q .
On a :
p − q n, car p n et q 0,
p − q −
n
2
, car p 0 et 2q n.
D'autre part : P(−1,5) = −0,125 < 0 et P(−1,4) = 0,210 > 0,
donc : −1,5 α −1,4, puis 1,4 < |α| < 1,5.
On conclut :
|det (A)| 1,5
n
|det (A)| 1,4
− n
2 =
1
1,4
n
2 0,8
n .
Les méthodes à retenir
Polynômes d'endomorphismes, polynômes de matrices carrées
• Pour manipuler des polynômes d'endomorphismes ou des polynômes de matrices carrées, il est important
d'avoir assimilé les notations, et de les utiliser correctement.
Si f ∈ L(E) et P =
N
k=0
a k X
k
∈ R[X] , alors P( f ) =
N
k=0
a k f
k , où f
0
= Id E , et pour tout x ∈ E , on a
(P( f )) (x) =
N
k=0
a k f
k
(x). La notation (P( f )) (x) peut être allégée en P( f )(x) ; mais l'écriture P( f (x)) n'a pas
de sens.
• Pour étudier une matrice A ∈ M n (R) qui annule un polynôme P de R[X ] scindé simple sur C mais non scindé sur R, essayer d'utiliser une diagonalisation de A dans M n (C), puis de revenir aux réels (ex. 3.5.3).
• Pour montrer qu'un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie (ou une matrice) est diagonalisable, d’après le Théorème du § 3.5.2 p. 110, il (faut et il) suffit de trouver un polynôme annulateur de f (ou
de A) qui soit scindé simple sur K (ex. 3.5.4, 3.5.8, 3.5.10).
• Pour obtenir des renseignements, par exemple sur la trace d’une matrice A de M n (K ) lorsque l’on dispose d’un polynôme annulateur P de A, penser à utiliser : le spectre de Aest inclus dans l'ensemble des zéros de
P dans K (ex. 3.5.5 à 3.5.7).