3.5 • Polynômes d’endomorphismes, polynômes de matrices carrées
113
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Conseils
Linéarité de la trace.
On va former un polynôme annulateur
de f. À cet effet, on commence par calculer
f 2 , c'est-à-dire f ◦ f.
§ 3.5.2 Théorème p. 110.
Solution
a) L'application f va de M n (K ) dans M n (K ) et est linéaire car, pour tous α ∈ K ,
M,N ∈ M n (K ) :
f (α M + N ) = tr
A(α M + N )
B = tr (α AM + AN )B
= (αtr (AM) + tr (AN ))B = αtr (AM)B + tr (AN )B = α f (M) + f (N ).
b) On a, pour toute M ∈ M n (K ) :
( f ◦ f )(M) = tr (A f (M))B = tr (A(tr (AM)B))B
= tr (AM)tr (AB)B = tr (AB)
tr (AM)B
= tr (AB) f (M),
donc : f ◦ f = tr (AB) f.
Ceci montre que le polynôme P = X
2
− tr (AB)X est annulateur de f. Comme
P = X
X − tr (AB)
et que tr (AB) = 0, P est scindé simple sur K .
D'après le Cours, puisque f admet au moins un polynôme annulateur scindé simple,
f est diagonalisable.
Exercice-type résolu 2
Obtention de résultats portant sur det (A) à partir d'une équation satisfaite par A
Soient n ∈ N
∗
, A ∈ M n (R) telle que : A
3
+ A
2
+ I n = 0. Démontrer :
0,8
n
|det (A)| 1,5
n .
Conseils
Penser à faire intervenir la notion de polynôme annulateur.
On peut aussi remarquer :
P
−
2
3
> P(0) > 0.
Cf. § 3.5.2, Théorème p. 110.
Solution
Notons P = X
3
+ X
2
+ 1 ∈ R[X ], qui est annulateur de A.
Étudions les zéros de P.
L'application P est dérivable sur R et : P
= 3X
2
+ 2X = X (3X + 2), d'où le
tableau des variations de P :
x
−∞
−
2
3
0
+∞
P
(x)
+
0
−
0
+
P(x)
−∞
∞
> 0
> 0
+∞
On a P
−
2
3
= −
8
27
+
4
9
+ 1 > 0 et P(0) = 1 > 0.
D'après le théorème des valeurs intermédiaires et la stricte monotonie de P par
intervalles, on conclut que P admet un zéro réel et un seul, noté α, et que α < −
2
3
.
Comme deg (P) = 3, P admet aussi deux zéros complexes conjugués non réels,
notés β,β.
Puisque α,β,β sont deux à deux distincts, P est scindé simple dans C, donc A est
diagonalisable dans M n (C) et : Sp C (A) ⊂ {α, β, β}.