Chapitre 3 • Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
112
Ainsi : ∀k ∈ {1,. . . ,p} , x k ∈ Ker( f − λ k e).
On en déduit : E =
p
k=1
Ker( f − λ k e).
On a vu (cf. Cor. 1) p. 110) : Sp K ( f ) ⊂ {λ 1 ,. . . ,λ p } ; d'autre part, par définition, pour tout k de
{1,. . . ,p} tel que λ k ∈ Sp K ( f ), on a : Ker( f − λ k e) = {0}.
Donc
λ∈Sp K ( f )
SEP( f,λ) =
p
k=1
Ker( f − λ k e) = E ,
et par suite (cf. 3.3 Prop. p. 87), f est diagonalisable.
2) Se déduit de 1) en passant aux matrices.
Remarque : D'après le théorème précédent et le point 1) de sa preuve, f ∈ L(E) est diagonalisable si et seulement si f annule le polynôme
λ∈Sp K ( f )
(X − λ).
Exemples :
1) Soit E un K-ev de dimension finie. Tout projecteur p de E est diagonalisable, puisque p
annule le polynôme X(X − 1) , qui est scindé simple.
2) Soit E un K-ev (où K = R ou C ) de dimension finie. Toute symétrie s de E est diagonalisable, puisque s annule le polynôme (X − 1)(X + 1), qui est scindé simple.
3) Soit A ∈ M 10 (R) telle que A 3 = 7A − 6 I 10 .
Le polynôme X 3 − 7X + 6 = (X − 1)(X − 2)(X + 3) de R[X] est scindé simple et annulateur de A, donc A est diagonalisable.
4) Soient n ∈ N − {0,1},
, B 0 = (e 1 ,. . . ,e n ) la base
canonique de M n,1 (C) , f l'endomorphisme de M n,1 (C) de matrice A par rapport à B 0 .
Puisque f (e 1 ) = e n , f (e 2 ) = e 1 ,. . . , f (e n ) = e n−1 , il est clair que : f n = Id M n,1 (C) , et
donc A n = I n . Ainsi, A annule le polynôme X n − 1, qui est scindé simple (ses zéros sont
les racines n èmes de 1), donc A est diagonalisable.
Remarques :
1) Soient A ∈ M n (K ), P un polynôme annulateur de A tel que P = 0. On ne peut pas affirmer que χ A divise P , ni que P divise χ A . Par exemple, si A = I n (n 2), alors
χ A = (−1) n (X − 1) n et, pour tout k de N ∗ , (X − 1) k est annulateur de A.
2) D'après le théorème de Cayley-Hamilton (cf. plus loin 3.5.3 Th. p. 116) :
∀A ∈ M n (K ), χ A (A) = 0.
Autrement dit, χ A est annulateur de A.
A =
0 1
0
0
1
1
0
∈ M n (C)
Pour tout k ∈ {1,. . . ,p},
Ker ( f − λ k e) est égal à
SEP ( f,λ k ) (si λ k est valeur propre
de f)
ou à {0} (si λ k n’est pas valeur propre
de f).
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Pour tout p ∈ L(E) :
p projecteur ⇐⇒ p 2 = p.
Pour tout s ∈ L(E) :
s symétrie ⇐⇒ s 2 = e.
Exercices 3.5.2 à 3.5.14.
Exercice-type résolu 1
Diagonalisabilité d'un endomorphisme d'un espace de matrices
Soient n ∈ N
∗
, A,B ∈ M n (K ) telles que tr (AB) = 0. On considère l'application
f : M n (K ) −→ M n (K ), M −→ f (M) = tr (AM)B.
a) Montrer que f est un endomorphisme de M n (K ).
b) Démontrer que f est diagonalisable.
112
Ainsi : ∀k ∈ {1,. . . ,p} , x k ∈ Ker( f − λ k e).
On en déduit : E =
p
k=1
Ker( f − λ k e).
On a vu (cf. Cor. 1) p. 110) : Sp K ( f ) ⊂ {λ 1 ,. . . ,λ p } ; d'autre part, par définition, pour tout k de
{1,. . . ,p} tel que λ k ∈ Sp K ( f ), on a : Ker( f − λ k e) = {0}.
Donc
λ∈Sp K ( f )
SEP( f,λ) =
p
k=1
Ker( f − λ k e) = E ,
et par suite (cf. 3.3 Prop. p. 87), f est diagonalisable.
2) Se déduit de 1) en passant aux matrices.
Remarque : D'après le théorème précédent et le point 1) de sa preuve, f ∈ L(E) est diagonalisable si et seulement si f annule le polynôme
λ∈Sp K ( f )
(X − λ).
Exemples :
1) Soit E un K-ev de dimension finie. Tout projecteur p de E est diagonalisable, puisque p
annule le polynôme X(X − 1) , qui est scindé simple.
2) Soit E un K-ev (où K = R ou C ) de dimension finie. Toute symétrie s de E est diagonalisable, puisque s annule le polynôme (X − 1)(X + 1), qui est scindé simple.
3) Soit A ∈ M 10 (R) telle que A 3 = 7A − 6 I 10 .
Le polynôme X 3 − 7X + 6 = (X − 1)(X − 2)(X + 3) de R[X] est scindé simple et annulateur de A, donc A est diagonalisable.
4) Soient n ∈ N − {0,1},
, B 0 = (e 1 ,. . . ,e n ) la base
canonique de M n,1 (C) , f l'endomorphisme de M n,1 (C) de matrice A par rapport à B 0 .
Puisque f (e 1 ) = e n , f (e 2 ) = e 1 ,. . . , f (e n ) = e n−1 , il est clair que : f n = Id M n,1 (C) , et
donc A n = I n . Ainsi, A annule le polynôme X n − 1, qui est scindé simple (ses zéros sont
les racines n èmes de 1), donc A est diagonalisable.
Remarques :
1) Soient A ∈ M n (K ), P un polynôme annulateur de A tel que P = 0. On ne peut pas affirmer que χ A divise P , ni que P divise χ A . Par exemple, si A = I n (n 2), alors
χ A = (−1) n (X − 1) n et, pour tout k de N ∗ , (X − 1) k est annulateur de A.
2) D'après le théorème de Cayley-Hamilton (cf. plus loin 3.5.3 Th. p. 116) :
∀A ∈ M n (K ), χ A (A) = 0.
Autrement dit, χ A est annulateur de A.
A =
0 1
0
0
1
1
0
∈ M n (C)
Pour tout k ∈ {1,. . . ,p},
Ker ( f − λ k e) est égal à
SEP ( f,λ k ) (si λ k est valeur propre
de f)
ou à {0} (si λ k n’est pas valeur propre
de f).
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Pour tout p ∈ L(E) :
p projecteur ⇐⇒ p 2 = p.
Pour tout s ∈ L(E) :
s symétrie ⇐⇒ s 2 = e.
Exercices 3.5.2 à 3.5.14.
Exercice-type résolu 1
Diagonalisabilité d'un endomorphisme d'un espace de matrices
Soient n ∈ N
∗
, A,B ∈ M n (K ) telles que tr (AB) = 0. On considère l'application
f : M n (K ) −→ M n (K ), M −→ f (M) = tr (AM)B.
a) Montrer que f est un endomorphisme de M n (K ).
b) Démontrer que f est diagonalisable.