3.5 • Polynômes d’endomorphismes, polynômes de matrices carrées
111
Il existe une base B de E telle que la matrice A de f dans B soit :
A =




λ 1 I d 1
0
. . .
0
λ N I d N



 , où : ∀k ∈ {1,. . . ,N }, d k = dim(SEP( f,λ k )) .
Considérons P =
N
k=1
(X − λ k ) , qui est scindé simple. On a :
P( A) =
N
k=1
( A − λ k I n ) =






0
(λ 2 − λ 1 )I d 2
0
. . .
0
(λ N − λ 1 )I d N






. . .





(λ 1 − λ N )I d 1
(λ 2 − λ N )I d 2 0
0
. . .
0





= 0.
Ainsi, il existe P ∈ K [X] scindé simple et annulateur de f.
b) Réciproquement, supposons qu'il existe P ∈ K [X] scindé simple tel que P( f ) = 0.
Il existe donc α ∈ K − {0} , p ∈ N ∗ , λ 1 ,. . . ,λ p ∈ K deux à deux distincts, tels que
P = α
p
k=1
(X − λ k ) .
Considérons, pour k ∈ {1,. . . ,p} , A k =
1 j p
j =k
(X − λ j ) . Comme λ 1 ,. . . ,λ p sont deux à deux distincts, on a :
∀k ∈ {1,. . . , p}, A k (λ k ) =
1 j p
j =k
(λ k − λ j ) = 0.
Notons, pour k ∈ {1,. . . , p} : u k =
1
A k (λ k )
∈ K.
Le polynôme 1 −
p
k=1
u k A k est de degré p − 1 et s'annule en λ 1 ,. . . ,λ p car :
∀ j ∈ {1,. . . ,p},
p
k=1
u k A k
(λ j ) = u j A j (λ j ) = 1.
Ceci montre :
p
k=1
u k A k = 1.
En passant aux endomorphismes, on obtient : e = 1( f ) =
p
k=1
u k A k ( f ).
Soit x ∈ E ; on a :
x = e(x) =
p
k=1
u k A k ( f )
(x) =
p
k=1
u k (A k ( f ))(x).
Notons, pour k ∈ {1,. . . , p} : x k = u k
A k ( f )
(x).
On a alors x =
p
k=1
x k et, pour tout k de {1,. . . ,p} :
( f − λ k e)(x k ) = (X − λ k )( f )
u k (A k ( f ))
(x) = (u k (X − λ k )A k )( f )(x)
= (α
−1 u k P)( f )(x) = 0(x) = 0.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Variante : utiliser les polynômes
d’interpolation de Lagrange en les
λ 1 ,…,λ n .
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