Chapitre 3 • Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
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Proposition
1) Soient f ∈ L(E), λ ∈ Sp K ( f ), x ∈ SEP( f,λ). On a alors :
∀P ∈ K [X],
P( f )
(x) = P(λ)x.
2) Soient A ∈ M n (K ), λ ∈ Sp K (A) , V ∈ SEP(A,λ). On a alors :
∀P ∈ K [X], P(A)V = P(λ)V.
Preuve
1) • Montrons, par récurrence : ∀k ∈ N, f k (x) = λ k x. La propriété est triviale pour k = 0 (car f 0 = e
et λ 0 = 1), et vraie pour k = 1 par hypothèse. Si elle est vraie pour un k de N , alors :
f
k+1 (x) = f ( f
k (x)) = f (λ
k x) = λ
k f (x) = λ
k λx = λ
k+1 x.
• On a alors, pour tout P =
N
k=0
a k X
k de K [X] :
(P( f ))(x) =
N
k=0
a k f
k
(x) =
N
k=0
a k f
k (x) =
N
k=0
a k λ
k x = P(λ)x.
2) Même méthode.
On peut aussi se ramener à 1) en passant aux matrices.
᭿
Corollaire
1) Soient f ∈ L(E), P un polynôme annulateur de f.
On a alors : Sp K ( f ) ⊂ P −1 ({0}).
2) Soient A ∈ M n (K ), P un polynôme annulateur de A.
On a alors : Sp K (A) ⊂ P −1 ({0}) .
Preuve
1) Soit λ ∈ Sp K ( f ); on a : P(λ)x = (P( f ))(x) = 0(x) = 0 ,
donc P(λ) = 0 , puisque x = 0.
2) Analogue.
᭿
Remarque : Les inclusions précédentes peuvent ne pas être des égalités, comme le montre
l'exemple :
K = R, A = 0 , P = X(X − 1) .
Théorème
1) Soient E un K-ev de dimension finie, f ∈ L(E). Pour que f soit diagonalisable, il
faut et il suffit qu'il existe P ∈ K [X] scindé sur K et à zéros simples, tel que
P( f ) = 0.
2) Soient n ∈ N ∗ , A ∈ M n (K ). Pour que A soit diagonalisable, il faut et il suffit qu'il
existe P ∈ K [X] scindé sur K et à zéros simples, tel que P(A) = 0.
Preuve
1) a) Supposons que f soit diagonalisable.
Notons N = Card(Sp K ( f )) , λ 1 ,. . . ,λ N les éléments de Sp K ( f ) (ainsi, λ 1 ,. . . ,λ N sont deux à deux
distincts).
Formules utiles en pratique.
Utilisation de l’hypothèse de récurrence
pour k puis pour 1.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Autrement dit,toute vp de f (resp. A) est
zéro de tout polynôme annulateur de f
(resp. A).
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Un zéro d'un polynôme annulateur de f
n'est pas nécessairement une valeur
propre de f.
Théorème important, surtout dans le
sens suivant : si f admet un polynôme
annulateur scindé simple, alors f est
diagonalisable.
On peut abréger « scindé et à zéros
simples » en : scindé simple.