3.5 • Polynômes d’endomorphismes, polynômes de matrices carrées
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3.5.2 Polynômes annulateurs
Définition
1) Soient f ∈ L(E), P ∈ K [X]. On dit que P annule f (ou : P est un polynôme
annulateur de f) si et seulement si : P( f ) = 0.
2) Soient A ∈ M n (K ), P ∈ K [X]. On dit que P annule A (ou : P est un polynôme
annulateur de A) si et seulement si : P(A) = 0.
Exemples :
Soit f ∈ L(E) .
• f est un projecteur si et seulement si X 2 − X est annulateur de f.
• f est une symétrie si et seulement si X 2 − 1 est annulateur de f.
Remarques :
1) Soient E un K-ev de dimension finie, n = dim(E), f ∈ L(E) . Puisque L(E) est de dimension finie n 2 , la famille (e, f, f 2 ,. . . , f n 2 ), qui comporte n 2 + 1 éléments, est liée.
Il existe donc (a 0 ,. . . ,a n 2 ) ∈ K n 2 +1 − {(0,. . . ,0)} tel que a 0 e + a 1 f + . . . + a n 2 f n 2 = 0 .
En notant P =
n 2
k=0
a k X
k , on a donc : P = 0 et P( f ) = 0.
Ainsi, f admet au moins un polynôme annulateur autre que 0.
2) De même, toute matrice A de M n (K ) admet au moins un polynôme annulateur autre que 0.
3) Si E n'est pas de dimension finie, il se peut qu'un endomorphisme f de E n'admette que 0
pour polynôme annulateur (cf. exercice 3.5.2 p. 115).
4) Au lieu de « P annule f (ou A) », on dit aussi : « f (ou A) annule P ».
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Conseils
Comme en b).
f (x) = 0 car x ∈ Ker ( f ).
Comme en b).
On a supposé a 0 = 0.
Solution
c) On suppose : Ker ( f ) ⊂ Ker
P( f )
et Ker ( f ) = {0}.
Raisonnons par l'absurde. Supposons P(0) = 0.
Il existe alors a 0 ∈ K , Q ∈ K [X] tels que : P = a 0 + XQ et a 0 = 0.
Puisque Ker ( f ) = {0}, il existe x ∈ Ker ( f ) tel que x = 0. On a :
0 = P( f )(x) = a 0 x +
Q( f ) ◦ f
(x) = a 0 x + Q( f )
f (x)
= a 0 x + Q( f )(0) = a 0 x,
contradiction avec a 0 = 0 et x = 0.
Ceci montre : P(0) = 0.
d) On suppose : Im
P( f )
⊂ Im ( f ) et Im ( f ) = E.
Raisonnons par l'absurde. Supposons P(0) = 0.
Il existe alors a 0 ∈ K , Q ∈ K [X] tels que : P = a 0 + XQ et a 0 = 0.
Puisque Im ( f ) = E, il existe y ∈ E tel que y /
∈ Im ( f ). En notant z = P( f )(y),
on a : z = a 0 y +
f ◦ Q( f )
(y), donc a 0 y = z − f
Q( f )(y)
.
Comme z ∈ Im
P( f )
⊂ Im ( f ), il s'ensuit a 0 y ∈ Im ( f ),
puis y ∈ Im ( f ), contradiction.
Ceci montre : P(0) = 0.
Pour f ∈ L(E) :
f projecteur ⇐⇒ f 2 − f = 0,
f symétrie ⇐⇒ f 2 − e = 0.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
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Gé
ométrie Monier
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Définition
1) Soient f ∈ L(E), P ∈ K [X]. On dit que P annule f (ou : P est un polynôme
annulateur de f) si et seulement si : P( f ) = 0.
2) Soient A ∈ M n (K ), P ∈ K [X]. On dit que P annule A (ou : P est un polynôme
annulateur de A) si et seulement si : P(A) = 0.
Exemples :
Soit f ∈ L(E) .
• f est un projecteur si et seulement si X 2 − X est annulateur de f.
• f est une symétrie si et seulement si X 2 − 1 est annulateur de f.
Remarques :
1) Soient E un K-ev de dimension finie, n = dim(E), f ∈ L(E) . Puisque L(E) est de dimension finie n 2 , la famille (e, f, f 2 ,. . . , f n 2 ), qui comporte n 2 + 1 éléments, est liée.
Il existe donc (a 0 ,. . . ,a n 2 ) ∈ K n 2 +1 − {(0,. . . ,0)} tel que a 0 e + a 1 f + . . . + a n 2 f n 2 = 0 .
En notant P =
n 2
k=0
a k X
k , on a donc : P = 0 et P( f ) = 0.
Ainsi, f admet au moins un polynôme annulateur autre que 0.
2) De même, toute matrice A de M n (K ) admet au moins un polynôme annulateur autre que 0.
3) Si E n'est pas de dimension finie, il se peut qu'un endomorphisme f de E n'admette que 0
pour polynôme annulateur (cf. exercice 3.5.2 p. 115).
4) Au lieu de « P annule f (ou A) », on dit aussi : « f (ou A) annule P ».
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Conseils
Comme en b).
f (x) = 0 car x ∈ Ker ( f ).
Comme en b).
On a supposé a 0 = 0.
Solution
c) On suppose : Ker ( f ) ⊂ Ker
P( f )
et Ker ( f ) = {0}.
Raisonnons par l'absurde. Supposons P(0) = 0.
Il existe alors a 0 ∈ K , Q ∈ K [X] tels que : P = a 0 + XQ et a 0 = 0.
Puisque Ker ( f ) = {0}, il existe x ∈ Ker ( f ) tel que x = 0. On a :
0 = P( f )(x) = a 0 x +
Q( f ) ◦ f
(x) = a 0 x + Q( f )
f (x)
= a 0 x + Q( f )(0) = a 0 x,
contradiction avec a 0 = 0 et x = 0.
Ceci montre : P(0) = 0.
d) On suppose : Im
P( f )
⊂ Im ( f ) et Im ( f ) = E.
Raisonnons par l'absurde. Supposons P(0) = 0.
Il existe alors a 0 ∈ K , Q ∈ K [X] tels que : P = a 0 + XQ et a 0 = 0.
Puisque Im ( f ) = E, il existe y ∈ E tel que y /
∈ Im ( f ). En notant z = P( f )(y),
on a : z = a 0 y +
f ◦ Q( f )
(y), donc a 0 y = z − f
Q( f )(y)
.
Comme z ∈ Im
P( f )
⊂ Im ( f ), il s'ensuit a 0 y ∈ Im ( f ),
puis y ∈ Im ( f ), contradiction.
Ceci montre : P(0) = 0.
Pour f ∈ L(E) :
f projecteur ⇐⇒ f 2 − f = 0,
f symétrie ⇐⇒ f 2 − e = 0.
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