Chapitre 3 • Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
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• Il en résulte, par linéarité : ∀Q ∈ K [X], Q(g) ◦ f = f ◦ Q(g).
• Le résultat précédent, appliqué à (Q(g), f ) au lieu de ( f,g), montre alors :
∀P,Q ∈ K [X], Q(g) ◦ P( f ) = P( f ) ◦ Q(g).
2) Même méthode.
On peut aussi se ramener à 1) en passant aux matrices.
᭿
Exercice 3.5.1.
Exercice-type résolu
Étude du noyau et de l'image d'un polynôme d'endomorphisme
Soient E un K-ev, f ∈ L(E), P ∈ K [X]. Montrer :
a)
P(0) = 0 ⇒
Ker ( f ) ⊂ Ker
P( f )
Im
P( f )
⊂ Im ( f )
b)
P(0) = 0 ⇒ Ker
P( f )
⊂ Im ( f )
c)
Ker ( f ) ⊂ Ker
P( f )
Ker ( f ) = {0}
⇒ P(0) = 0
d)
Im
P( f )
⊂ Im ( f )
Im ( f ) = E
⇒ P(0) = 0.
Conseils
On a P = X Q = QX, donc
P( f ) = f ◦ Q( f ) = Q( f ) ◦ f.
On écrit :
P = a 0 + a 1 X + · · · + a d X
d
= a 0 + X (a 1 + · · · + a d X
d−1 ).
Solution
a) On suppose P(0) = 0. Il existe alors Q ∈ K [X] tel que : P = XQ.
• On a, pour tout x ∈ Ker ( f ) :
P( f )
(x) =
Q( f ) ◦ f
(x) = Q( f )(0) = 0,
donc x ∈ Ker
P( f )
.
Ceci montre : Ker ( f ) ⊂ Ker
P( f )
.
• Soit y ∈ Im
P( f )
. Il existe x ∈ E tel que y = P( f )(x). On a alors :
y = P( f )(x) =
f ◦ Q( f )
(x) = f
Q( f )(x)
∈ Im ( f ).
Ceci montre : Im
P( f )
⊂ Im ( f ).
b) On suppose P(0) = 0.
Il existe alors Q ∈ K [X] tel que : P = a 0 + XQ et a 0 = 0.
Soit x ∈ Ker
P( f )
. On a alors P( f )(x) = 0,
c'est-à-dire a 0 x +
f ◦ Q( f )
(x) = 0, d'où, puisque a 0 = 0 :
x = −
1
a 0
f
Q( f )(x)
= f
−
1
a 0
Q( f )(x)
∈ Im ( f ).
Ceci montre : Ker
P( f )
⊂ Im ( f ).