3.5 • Polynômes d’endomorphismes, polynômes de matrices carrées
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Proposition 1
1) Soit f ∈ L(E). L'application P −→ P( f ) est un morphisme d'algèbres unitaires
de K [X] dans L(E) , c'est-à-dire :
∀α ∈ K , ∀P,Q ∈ K [X],
(α P + Q)( f ) = α P( f ) + Q( f )
(P Q)( f ) = P( f ) ◦ Q( f )
1( f ) = e
2) Soit A ∈ M n (K ). L'application P −→ P(A) est un morphisme d'algèbres unitaires de K [X] dans M n (K ), c'est-à-dire :
∀α ∈ K , ∀P,Q ∈ K [X],
(α P + Q)(A) = α P(A) + Q(A)
(P Q)(A) = P(A)Q(A)
1(A) = I n .
Preuve
1) Notons P =
N
k=0
a k X
k , Q =
N
k=0
b k X
k .
• (α P + Q)( f ) =
N
k=0
(αa k + b k )X
k
( f ) =
N
k=0
(αa k + b k ) f
k = α
N
k=0
a k f
k +
N
k=0
b k f
k
= α P( f ) + Q( f ).
• En notant de plus a k = b k = 0 si k > N , on a :
(P Q)( f ) =
2N
k=0
k
i =0
a i b k−i
X
k
( f ) =
2N
k=0
k
i =0
a i b k−i f
k =
N
i =0
a i f
i
◦
N
j =0
b j f
j
= P( f ) ◦ Q( f ).
2) Même méthode.
On peut aussi se ramener à 1) en passant aux matrices.
᭿
Remarque : Pour A ∈ M n (K ) (n 2), l'application θ : K [X] −→ M n (K )
P −→ P(A)
peut n'être ni
injective ni surjective. Par exemple, si K = R et A =
0 1
1 0
, en remarquant A 2 = I 2 :
• θ n'est pas injective, car : θ(X 2 − 1) = (X 2 − 1)(A) = A 2 − I 2 = 0
• θ n'est pas surjective car : Im(θ) = Vect {I 2 ,A,A 2 ,. . .} = Vect {I 2 ,A} est de dimension 2,
alors que M 2 (K ) est de dimension 4.
Proposition 2
1) Si f,g ∈ L(E) commutent, alors tout polynôme en f commute avec tout polynôme
en g.
2) Si A,B ∈ M n (K ) commutent, alors tout polynôme en A commute avec tout polynôme en B.
Preuve
1) Soient f,g ∈ L(E) tels que g ◦ f = f ◦ g.
• Montrons, par récurrence : ∀k ∈ N, g k ◦ f = f ◦ g k .
La propriété est triviale pour k = 0 (car g 0 = e), et vraie pour k = 1 par hypothèse.
Si elle est vraie pour un entier k, alors :
g
k+1 ◦ f = g ◦ (g
k ◦ f ) = g ◦ ( f ◦ g
k ) = (g ◦ f ) ◦ g
k = ( f ◦ g) ◦ g
k = f ◦ g
k+1 .
Cette proposition revient à remarquer
que les opérations loi externe,addition,
multiplication (ou composition)
s'effectuent formellement de la même
façon sur X et sur f ou A.
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Autrement dit, si f, g,∈ L(E)
commutent,alors,pour tous polynômes
P, Q ∈ K [X] :
P( f )◦ Q(g) = Q(g)◦ P( f ).
En particulier, pour tout f ∈ L(E) et
tous P, Q ∈ K [X] :
P( f )◦ Q( f ) = Q( f )◦ P( f ).
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Utilisation de l’hypothèse de récurrence
pour k puis pour 1.
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