Chapitre 3 • Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
106
3.5 Polynômes d'endomorphismes,
polynômes de matrices carrées
Dans ce § 3.5, E désigne un K-ev ; on note e = Id E .
3.5.1 Généralités
Définition-Notation
Soit P = a 0 + a 1 X + . . . + a N X N ∈ K [X].
1) Pour f ∈ L(E), on note P( f ) = a 0 e + a 1 f + . . . + a N f N , et P( f ) est appelé un
polynôme d'endomorphisme.
2) Pour A ∈ M n (K ) (n ∈ N ∗ ), on note P(A) = a 0 I n + a 1 A + . . . + a N A N , et P(A)
est appelé un polynôme de matrice.
Autrement dit, pour obtenir P( f ) (ou P(A)), on remplace la constante 1 par e (ou I n ), X par f
(ou A), X k par f k (ou A k ) pour k ∈ N ∗ .
Remarques :
1) Ne pas confondre 1( f ) (qui vaut e) et X( f ) (qui vaut f).
Par exemple : (2 + 3X)( f ) = 2e + 3 f.
2) Soient E un K-ev de dimension finie, B une base de E , f ∈ L(E) , A = Mat B ( f ) ; on a
alors, d'après Algèbre PCSI-PTSI, 8.1.4 Prop. 1 : Mat B (P( f )) = P(A).
3.4.13 Soient n ∈ N ∗ , A,B,C ∈ M n (C) telles que :
AB − B A = C, AC = C A, BC = C B.
Montrer que A,B,C sont simultanément trigonalisables,
c'est-à-dire qu'il existe P ∈ GL n (C) telle que P −1 AP,
P −1 B P , P −1 C P soient trigonales supérieures. (On pourra effectuer une récurrence sur n et utiliser l'exercice
3.4.11 a)).
3.4.14 Soient n ∈ N ∗ , A,B ∈ M n (C) telles que AB = 0.
Montrer que A et B sont simultanément trigonalisables. La
propriété s'étend-elle au cas de trois matrices ?
3.4.15
Soient n ∈ N ∗ , A,B ∈ M n (C) telles que
ρ(A)ρ(B) < 1, où ρ(·) désigne le rayon spectral :
ρ(A) = Max
λ∈Sp C (A)
|λ| .
Montrer :
∀C ∈ M n (C) , ∃!X ∈ M n (C) , AX B − X = C.
(Utiliser l'exercice 3.4.12 appliqué aux endomorphismes
a,b de M n (C) définis par :
a : X −→ AX, b : X −→ X B).
3.4.16 Soient n ∈ N ∗ , A,B ∈ M n (C). Montrer que les
propriétés suivantes sont deux à deux équivalentes :
(i) ∀C ∈ M n (C) , ∃!X ∈ M n (C) , AX − X B = C
(ii) ∀X ∈ M n (C), (AX = X B ⇒ X = 0)
(iii) Sp C (A) ∩ Sp C (B) = ∅.
3.4.17 Trigonaliser les matrices suivantes dans M 3 (R):
a) A =
5 −4 −3
2 −1 −1
1 −1
0
b) A =
7 −6 −2
2
0 −1
2 −3
2
c) A =
0 2 −1
−1 3 −1
0 1
0
.
Ainsi dans le cadre de la dimension finie,
on pourra choisir le point de vue
« endomorphisme » ou le point de vue
matriciel.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
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3.5 Polynômes d'endomorphismes,
polynômes de matrices carrées
Dans ce § 3.5, E désigne un K-ev ; on note e = Id E .
3.5.1 Généralités
Définition-Notation
Soit P = a 0 + a 1 X + . . . + a N X N ∈ K [X].
1) Pour f ∈ L(E), on note P( f ) = a 0 e + a 1 f + . . . + a N f N , et P( f ) est appelé un
polynôme d'endomorphisme.
2) Pour A ∈ M n (K ) (n ∈ N ∗ ), on note P(A) = a 0 I n + a 1 A + . . . + a N A N , et P(A)
est appelé un polynôme de matrice.
Autrement dit, pour obtenir P( f ) (ou P(A)), on remplace la constante 1 par e (ou I n ), X par f
(ou A), X k par f k (ou A k ) pour k ∈ N ∗ .
Remarques :
1) Ne pas confondre 1( f ) (qui vaut e) et X( f ) (qui vaut f).
Par exemple : (2 + 3X)( f ) = 2e + 3 f.
2) Soient E un K-ev de dimension finie, B une base de E , f ∈ L(E) , A = Mat B ( f ) ; on a
alors, d'après Algèbre PCSI-PTSI, 8.1.4 Prop. 1 : Mat B (P( f )) = P(A).
3.4.13 Soient n ∈ N ∗ , A,B,C ∈ M n (C) telles que :
AB − B A = C, AC = C A, BC = C B.
Montrer que A,B,C sont simultanément trigonalisables,
c'est-à-dire qu'il existe P ∈ GL n (C) telle que P −1 AP,
P −1 B P , P −1 C P soient trigonales supérieures. (On pourra effectuer une récurrence sur n et utiliser l'exercice
3.4.11 a)).
3.4.14 Soient n ∈ N ∗ , A,B ∈ M n (C) telles que AB = 0.
Montrer que A et B sont simultanément trigonalisables. La
propriété s'étend-elle au cas de trois matrices ?
3.4.15
Soient n ∈ N ∗ , A,B ∈ M n (C) telles que
ρ(A)ρ(B) < 1, où ρ(·) désigne le rayon spectral :
ρ(A) = Max
λ∈Sp C (A)
|λ| .
Montrer :
∀C ∈ M n (C) , ∃!X ∈ M n (C) , AX B − X = C.
(Utiliser l'exercice 3.4.12 appliqué aux endomorphismes
a,b de M n (C) définis par :
a : X −→ AX, b : X −→ X B).
3.4.16 Soient n ∈ N ∗ , A,B ∈ M n (C). Montrer que les
propriétés suivantes sont deux à deux équivalentes :
(i) ∀C ∈ M n (C) , ∃!X ∈ M n (C) , AX − X B = C
(ii) ∀X ∈ M n (C), (AX = X B ⇒ X = 0)
(iii) Sp C (A) ∩ Sp C (B) = ∅.
3.4.17 Trigonaliser les matrices suivantes dans M 3 (R):
a) A =
5 −4 −3
2 −1 −1
1 −1
0
b) A =
7 −6 −2
2
0 −1
2 −3
2
c) A =
0 2 −1
−1 3 −1
0 1
0
.
Ainsi dans le cadre de la dimension finie,
on pourra choisir le point de vue
« endomorphisme » ou le point de vue
matriciel.
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Géométrie
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