3.4 • Trigonalisation
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© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
• Pour résoudre des exercices portant sur la trigonalisation, penser à utiliser la CNS de trigonalisabilité du Cours
(A est trigonalisable si et seulement si χ A est scindé, th. p. 99) (ex. 3.4.4).
• Pour déterminer les sev de R
3 stables par un endomorphisme donné f de R
3 (ex. 3.4.5), on pourra commencer par diagonaliser ou trigonaliser f, en passant éventuellement par les nombres complexes. Les droites vectorielles stables par f sont les droites vectorielles engendrées par les vecteurs propres de f. Pour déterminer les plans
vectoriels stables par f, on pourra remarquer que, si P 1 et P 2 sont stables par f, alors P 1 ∩ P 2 est stable par f.
• Pour montrer que deux polynômes caractéristiques sont égaux, il suffit de montrer, lorsque le corps K est infini, qu’ils coïncident sauf en un nombre fini de points (souvent liés à des valeurs propres d’une matrice) (ex. 3.4.8).
• Pour résoudre une question de trigonalisabilité, on pourra penser à faire un raisonnement par récurrence sur
l’ordre d’une matrice (ex. 3.4.13, 3.4.14) ce qui amène souvent à des calculs par blocs.
3.4.1 Soient n ∈ N ∗ , A ∈ M n (C). Montrer que les propriétés suivantes sont deux à deux équivalentes :
(i) A est nilpotente
(ii) Sp C (A) = {0}
(iii) χ A = (−1) n X n
(iv) A n = 0.
3.4.2 Soient E un C -ev de dimension finie n, f ∈ L(E) .
Montrer que, pour tout k de {0,. . . ,n}, il existe un sev de E
de dimension k et stable par f.
3.4.3
Soient n ∈ N ∗ ,
A ∈ M n (C), P ∈ C[X] ,
χ A =
n
i=1
(λ i − X) le polynôme caractéristique de A.
Montrer χ P(A) =
n
i=1
(P(λ i ) − X), et en déduire :
Sp C (P(A)) = P(Sp C (A)) .
3.4.4 Soient n, p ∈ N ∗ , A ∈ M n (K ) , B ∈ M p (K ),
C ∈ M n, p (K ), M =
A C
0 B
. Montrer que M est trigonalisable si et seulement si A et B sont trigonalisables.
Généraliser à une matrice trigonale par blocs.
3.4.5 Trouver tous les sev de R 3 stables par l'endomorphisme f de R 3 dont la matrice dans la base canonique
B = (e 1 ,e 2 ,e 3 ) est : A =
6 −6
5
−4 −1 10
7 −6
4
.
3.4.6 Soient n ∈ N ∗ , A ∈ M n (R).
a) Montrer que, si χ A est scindé sur R , alors, pour tout k
de N , χ A k est scindé sur R .
b) Montrer que, si χ A 2 est scindé sur R et à zéros tous 0,
alors χ A est scindé sur R .
c) Donner un exemple de A ∈ M 3 (R) telle que χ A ne soit
pas scindé sur R et que χ A 3 soit scindé sur R .
3.4.7 Soient n ∈ N ∗ , A ∈ M n (C), λ 1 ,. . . ,λ n ∈ C les
valeurs propres de A. Montrer que les deux propriétés suivantes sont équivalentes :
(i) λ 1 ,. . . ,λ n sont deux à deux distincts
(ii) det
(tr(A i+ j−2 )) 1i, jn
= 0 .
3.4.8 Soient n ∈ N ∗ , A,B ∈ M n (C) telles que AB = B A
et B nilpotente. Montrer que A + B et A ont le même
polynôme caractéristique ; en particulier :
tr(A + B) = tr(A) et det(A + B) = det(A) .
3.4.9 Soient n ∈ N ∗ , E un K-ev de dimension finie n,
f ∈ L(E) nilpotent, v l'indice de f. Montrer :
v = n ⇐⇒ rg( f ) = n − 1.
3.4.10 Soient E un K-ev de dimension finie 1,
f ∈ L(E) trigonalisable, F un sev de E stable par f et tel
que F = {0} , g l'endomorphisme induit par f sur F .
Montrer que g est trigonalisable (utiliser l'ex. 3.2.1 p. 85).
3.4.11 Trigonalisation simultanée
Soient n ∈ N ∗ , E un K-ev de dimension finie n, I un
ensemble non vide, ( f i ) i∈I une famille d'endomorphismes
trigonalisables de E et commutant deux à deux.
a) Montrer qu'il existe un vecteur propre commun à tous
les f i (on pourra faire une récurrence sur n).
b) En déduire qu'il existe une base de E dans laquelle les
matrices des f i sont toutes trigonales supérieures (on pourra faire une récurrence sur n).
3.4.12
Soient n ∈ N ∗ , A,B ∈ M n (C) telles que
AB = B A.
Montrer :
Sp C (A + B) ⊂ Sp C (A) + Sp C (B) ,
Sp C (AB) ⊂ Sp C (A)Sp C (B) .
(Utiliser l'exercice 3.4.11).
Exercices
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• Pour résoudre des exercices portant sur la trigonalisation, penser à utiliser la CNS de trigonalisabilité du Cours
(A est trigonalisable si et seulement si χ A est scindé, th. p. 99) (ex. 3.4.4).
• Pour déterminer les sev de R
3 stables par un endomorphisme donné f de R
3 (ex. 3.4.5), on pourra commencer par diagonaliser ou trigonaliser f, en passant éventuellement par les nombres complexes. Les droites vectorielles stables par f sont les droites vectorielles engendrées par les vecteurs propres de f. Pour déterminer les plans
vectoriels stables par f, on pourra remarquer que, si P 1 et P 2 sont stables par f, alors P 1 ∩ P 2 est stable par f.
• Pour montrer que deux polynômes caractéristiques sont égaux, il suffit de montrer, lorsque le corps K est infini, qu’ils coïncident sauf en un nombre fini de points (souvent liés à des valeurs propres d’une matrice) (ex. 3.4.8).
• Pour résoudre une question de trigonalisabilité, on pourra penser à faire un raisonnement par récurrence sur
l’ordre d’une matrice (ex. 3.4.13, 3.4.14) ce qui amène souvent à des calculs par blocs.
3.4.1 Soient n ∈ N ∗ , A ∈ M n (C). Montrer que les propriétés suivantes sont deux à deux équivalentes :
(i) A est nilpotente
(ii) Sp C (A) = {0}
(iii) χ A = (−1) n X n
(iv) A n = 0.
3.4.2 Soient E un C -ev de dimension finie n, f ∈ L(E) .
Montrer que, pour tout k de {0,. . . ,n}, il existe un sev de E
de dimension k et stable par f.
3.4.3
Soient n ∈ N ∗ ,
A ∈ M n (C), P ∈ C[X] ,
χ A =
n
i=1
(λ i − X) le polynôme caractéristique de A.
Montrer χ P(A) =
n
i=1
(P(λ i ) − X), et en déduire :
Sp C (P(A)) = P(Sp C (A)) .
3.4.4 Soient n, p ∈ N ∗ , A ∈ M n (K ) , B ∈ M p (K ),
C ∈ M n, p (K ), M =
A C
0 B
. Montrer que M est trigonalisable si et seulement si A et B sont trigonalisables.
Généraliser à une matrice trigonale par blocs.
3.4.5 Trouver tous les sev de R 3 stables par l'endomorphisme f de R 3 dont la matrice dans la base canonique
B = (e 1 ,e 2 ,e 3 ) est : A =
6 −6
5
−4 −1 10
7 −6
4
.
3.4.6 Soient n ∈ N ∗ , A ∈ M n (R).
a) Montrer que, si χ A est scindé sur R , alors, pour tout k
de N , χ A k est scindé sur R .
b) Montrer que, si χ A 2 est scindé sur R et à zéros tous 0,
alors χ A est scindé sur R .
c) Donner un exemple de A ∈ M 3 (R) telle que χ A ne soit
pas scindé sur R et que χ A 3 soit scindé sur R .
3.4.7 Soient n ∈ N ∗ , A ∈ M n (C), λ 1 ,. . . ,λ n ∈ C les
valeurs propres de A. Montrer que les deux propriétés suivantes sont équivalentes :
(i) λ 1 ,. . . ,λ n sont deux à deux distincts
(ii) det
(tr(A i+ j−2 )) 1i, jn
= 0 .
3.4.8 Soient n ∈ N ∗ , A,B ∈ M n (C) telles que AB = B A
et B nilpotente. Montrer que A + B et A ont le même
polynôme caractéristique ; en particulier :
tr(A + B) = tr(A) et det(A + B) = det(A) .
3.4.9 Soient n ∈ N ∗ , E un K-ev de dimension finie n,
f ∈ L(E) nilpotent, v l'indice de f. Montrer :
v = n ⇐⇒ rg( f ) = n − 1.
3.4.10 Soient E un K-ev de dimension finie 1,
f ∈ L(E) trigonalisable, F un sev de E stable par f et tel
que F = {0} , g l'endomorphisme induit par f sur F .
Montrer que g est trigonalisable (utiliser l'ex. 3.2.1 p. 85).
3.4.11 Trigonalisation simultanée
Soient n ∈ N ∗ , E un K-ev de dimension finie n, I un
ensemble non vide, ( f i ) i∈I une famille d'endomorphismes
trigonalisables de E et commutant deux à deux.
a) Montrer qu'il existe un vecteur propre commun à tous
les f i (on pourra faire une récurrence sur n).
b) En déduire qu'il existe une base de E dans laquelle les
matrices des f i sont toutes trigonales supérieures (on pourra faire une récurrence sur n).
3.4.12
Soient n ∈ N ∗ , A,B ∈ M n (C) telles que
AB = B A.
Montrer :
Sp C (A + B) ⊂ Sp C (A) + Sp C (B) ,
Sp C (AB) ⊂ Sp C (A)Sp C (B) .
(Utiliser l'exercice 3.4.11).
Exercices