Chapitre 3 • Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
104
Enfin, la résolution du système

     
     
V 1 = e 1 − e 2
. . .
V n−2 = e 1 − e n−1
V n−1 = e 1 + . . . + e n
V n = e 1
donne

     
     
e 1 = V n
e 2 = −V 1 + V n
. . .
e n−1 = −V n−2 + V n
e n = V 1 + . . . + V n−1 − (n − 1)V n
, d'où P
−1 =








0 −1
1
0
0
−1
1
0
0
0
1
1
1
1 1− n








0
Exercices 3.4.1 à 3.4.17.
Exercice-type résolu
Un exemple d'utilisation de la trigonalisation
Soient n ∈ N
∗
, A ∈ M n (R) telle que χ A soit scindé sur R. Montrer :
tr (A
2 + A + I n )
3n
4
.
Conseils
Cf. § 3.4 Th. p. 99.
Deux matrices carrées semblables ont la
même trace.
On cherche la borne inférieure de
λ
2
+ λ + 1 lorsque λ décrit R.
Solution
Puisque χ A est scindé sur R, d'après le Cours, A est trigonalisable dans M n (R).
Il existe donc P ∈ GL n (R), T ∈ T n,s (R) telles que : A = PT P
−1
. On a alors :
A
2 + A + I n = P(T
2 + T + I n )P
−1 .
En notant λ 1 ,...,λ n les éléments diagonaux de T, on a donc :
tr (A
2 + A + I n ) = tr (T
2 + T + I n ) =
n
k=1
(λ
2
k + λ k + 1).
On a :
∀ λ ∈ R, λ
2 + λ + 1 =
λ +
1
2
2
+
3
4
3
4
,
donc :
tr (A
2 + A + I n )
n
k=1
3
4
=
3n
4
.
Les méthodes à retenir
Trigonalisation
• Pour résoudre des exercices sur les matrices nilpotentes, on pourra utiliser les caractérisations de la nilpotence
d’une matrice obtenues dans l’ex. 3.4.1.
• Pour étudier une question dans un contexte de polynômes de matrices carrées, penser, même si l’énoncé ne
l’indique pas, à la possibilité de faire intervenir une trigonalisation (ex. 3.4.3, 3.4.7 à 3.4.17).