3.4 • Trigonalisation
103
Remarque : On peut montrer (réduction de Jordan, hors programme) que, si χ A est scindé
et si on note λ 1 ,λ 2 ,λ 3 (non nécessairement distincts) les zéros de χ A , alors A est semblable
à l'une de matrices suivantes :
•
λ 1 0
0
0 λ 2 0
0
0 λ 3
si λ 1 ,λ 2 ,λ 3 sont deux à deux distincts
•
λ 1 0
0
0 λ 1 0
0
0 λ 3
ou
λ 1 1
0
0 λ 1 0
0
0 λ 3
si λ 2 = λ 1 = λ 3
•
λ 1 0
0
0 λ 1 0
0
0 λ 1
ou
λ 1 1
0
0 λ 1 0
0
0 λ 1
ou
λ 1 1
0
0 λ 1 1
0
0 λ 1
si λ 1 = λ 2 = λ 3 .
Exemple :
Soient n ∈ N − {0,1}, A =
1
1 1− n
1
1
1 1− n
∈ M n (R) .
Montrer que A n'est pas diagonalisable mais est trigonalisable, et trigonaliser A.
Remarquons rg(A) = 1 , d'où (théorème du rang) : dim(Ker(A)) = n − rg(A) 1 ; donc A
admet 0 pour vp, et l'ordre de multiplicité de la vp 0 est n − 1, puisque :
dim(SEP(A,0)) = dim(Ker(A)) = n − 1 .
Il existe donc λ 1 ∈ R tel que : χ A = (−1) n X n−1 (X − λ 1 ).
Comme tr(A) = λ 1 + (n − 1) · 0 = λ 1 et tr(A) = (1 − n) + (n − 1) = 0, on déduit
λ 1 = 0.
Ainsi, A admet une vp et une seule, qui est 0, et est d'ordre n ; comme le SEP associé à 0
est de dimension n − 1, ( = n ), A n'est pas diagonalisable (cf. aussi ex. 3.3.12 p. 97).
Le SEP(A,0) a pour équation x 1 + . . . + x n−1 + (1 − n)x n = 0 , donc admet pour base
(V 1 ,. . . ,V n−1 ), où : V 1 =
1
−1
0
0
, V 2 =
1
0
−1
. . .
0
, . . ., V n−2 =
1
0
. . .
−1
0
, V n−1 =
1
1
1
1
.
En notant V n =
1
0
0
, on a V n ∈ Ker(A) (car AV n = V n−1 = 0 ), donc (V 1 ,. . . ,V n ) est
une base de M n,1 (R).
Notons B 0 = (e 1 ,. . . ,e n ) la base canonique de M n,1 (R), B = (V 1 ,. . . ,V n ),
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
P = Pass(B 0 ,B) =
1
1 1 1
−1 0
0 1 0
0
0
0
0
−1 1 0
0
0 1 0
, T =
0
0 0
0
0
1
0
0 0
.
Les colonnes de A sont toutes
colinéaires à la 1 ère colonne de A, et
cette colonne n’est pas nulle, donc :
rg (A) = 1 .
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
On peut choisir pour V n n’importe quel
vecteur n’appartenant pas à Ker( A).
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Géométrie
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Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
On a alors : P ∈ GL n (R), T ∈ T n,s (R), A = PT P −1 .
103
Remarque : On peut montrer (réduction de Jordan, hors programme) que, si χ A est scindé
et si on note λ 1 ,λ 2 ,λ 3 (non nécessairement distincts) les zéros de χ A , alors A est semblable
à l'une de matrices suivantes :
•
λ 1 0
0
0 λ 2 0
0
0 λ 3
si λ 1 ,λ 2 ,λ 3 sont deux à deux distincts
•
λ 1 0
0
0 λ 1 0
0
0 λ 3
ou
λ 1 1
0
0 λ 1 0
0
0 λ 3
si λ 2 = λ 1 = λ 3
•
λ 1 0
0
0 λ 1 0
0
0 λ 1
ou
λ 1 1
0
0 λ 1 0
0
0 λ 1
ou
λ 1 1
0
0 λ 1 1
0
0 λ 1
si λ 1 = λ 2 = λ 3 .
Exemple :
Soient n ∈ N − {0,1}, A =
1
1 1− n
1
1
1 1− n
∈ M n (R) .
Montrer que A n'est pas diagonalisable mais est trigonalisable, et trigonaliser A.
Remarquons rg(A) = 1 , d'où (théorème du rang) : dim(Ker(A)) = n − rg(A) 1 ; donc A
admet 0 pour vp, et l'ordre de multiplicité de la vp 0 est n − 1, puisque :
dim(SEP(A,0)) = dim(Ker(A)) = n − 1 .
Il existe donc λ 1 ∈ R tel que : χ A = (−1) n X n−1 (X − λ 1 ).
Comme tr(A) = λ 1 + (n − 1) · 0 = λ 1 et tr(A) = (1 − n) + (n − 1) = 0, on déduit
λ 1 = 0.
Ainsi, A admet une vp et une seule, qui est 0, et est d'ordre n ; comme le SEP associé à 0
est de dimension n − 1, ( = n ), A n'est pas diagonalisable (cf. aussi ex. 3.3.12 p. 97).
Le SEP(A,0) a pour équation x 1 + . . . + x n−1 + (1 − n)x n = 0 , donc admet pour base
(V 1 ,. . . ,V n−1 ), où : V 1 =
1
−1
0
0
, V 2 =
1
0
−1
. . .
0
, . . ., V n−2 =
1
0
. . .
−1
0
, V n−1 =
1
1
1
1
.
En notant V n =
1
0
0
, on a V n ∈ Ker(A) (car AV n = V n−1 = 0 ), donc (V 1 ,. . . ,V n ) est
une base de M n,1 (R).
Notons B 0 = (e 1 ,. . . ,e n ) la base canonique de M n,1 (R), B = (V 1 ,. . . ,V n ),
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
P = Pass(B 0 ,B) =
1
1 1 1
−1 0
0 1 0
0
0
0
0
−1 1 0
0
0 1 0
, T =
0
0 0
0
0
1
0
0 0
.
Les colonnes de A sont toutes
colinéaires à la 1 ère colonne de A, et
cette colonne n’est pas nulle, donc :
rg (A) = 1 .
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On peut choisir pour V n n’importe quel
vecteur n’appartenant pas à Ker( A).
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On a alors : P ∈ GL n (R), T ∈ T n,s (R), A = PT P −1 .